P=4x⁴+2x²+x-1 Q=3x²-4

Рассмотрим деление полиномов P(x) и Q(x):

• P(x) = 4x^4 + 2x^2 + x - 1
• Q(x) = 3x^2 - 4

Цель: найти частное R(x) (куска) и остаток S(x) при делении P на Q, т.е. P = Q·R + S, deg(S) < deg(Q).

1. Первый шаг

• Сравниваем ведущие члены: 4x^4 делим на 3x^2 → получаем (4/3)x^2.
• Частное пока: (4/3)x^2.
• Вычисляем произведение Q·(4/3)x^2 = (4/3)x^2·(3x^2 - 4) = 4x^4 - (16/3)x^2.
• Вычитаем из P: P - Q·(4/3)x^2 = (4x^4 + 0x^3 + 2x^2 + x - 1) - (4x^4 - (16/3)x^2) = 0x^4 + 0x^3 + (2 + 16/3)x^2 + x - 1 = (22/3)x^2 + x - 1.

2. Второй шаг

• Ведущий член нового остатка (22/3)x^2 делим на 3x^2 → получаем 22/9.
• Частное дополняем: R(x) = (4/3)x^2 + 22/9.
• Вычисляем Q·(22/9) = (22/9)(3x^2 - 4) = (22/3)x^2 - 88/9.
• Вычитаем из текущего остатка: (22/3)x^2 + x - 1 - [(22/3)x^2 - 88/9] = 0·x^2 + x + (-1 + 88/9) = x + 79/9.

3. Остановка деления

• Степень остатка S(x) = 1 меньше степени Q (2), значит деление окончено.
• Частное: R(x) = (4/3)x^2 + 22/9
• Остаток: S(x) = x + 79/9

Проверка (проверяем равенство P = Q·R + S): Q·R = (3x^2 - 4)((4/3)x^2 + 22/9) = 4x^4 + 2x^2 - 88/9 Q·R + S = 4x^4 + 2x^2 - 88/9 + x + 79/9 = 4x^4 + 2x^2 + x - 1 = P. Проверка верна.

Итого:

• Частное: (4/3)x^2 + 22/9
• Остаток: x + 79/9
• При делении выполняется: P(x) = Q(x)·((4/3)x^2 + 22/9) + (x + 79/9)

Если вам нужно другое действие с этими полиномами (например, сумма, произведение, факторизация или поиск НОД), скажите — разберём отдельно.