что такое дискриминант

Коротко: дискриминант — это специальная величина, которая помогает определить, сколько и какие корни имеет квадратное уравнение.

Что такое дискриминант

• Для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 (где a ≠ 0) дискриминант обозначается как Δ и рассчитывается так: Δ = b^2 − 4ac
• Значение Δ говорит о количестве и виде корней:
  • Δ > 0: уравнение имеет два различных действительных корня
  • Δ = 0: уравнение имеет один корень (двойной корень)
  • Δ < 0: действительных корней нет (есть два комплексных корня)

Как использовать дискриминант для решения

1. Запишите коэффициенты: a, b, c
2. Вычислите Δ = b^2 − 4ac
3. Если a ≠ 0:
   • Если Δ > 0: корни x1 и x2 равны (-b − sqrt(Δ)) / (2a) и (-b + sqrt(Δ)) / (2a)
   • Если Δ = 0: корень один и он равен x = -b / (2a)
   • Если Δ < 0: действительных корней нет
4. Если a = 0, то это линейное уравнение bx + c = 0
   • При b ≠ 0: корень x = −c / b
   • При b = 0: либо нет решений, либо любое число является корнем (если c = 0)

Примеры

1. Положительный дискриминант (Δ > 0) Уравнение: 2x^2 + 3x − 2 = 0

• a = 2, b = 3, c = −2
• Δ = b^2 − 4ac = 3^2 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25
• Корни: x1 = (−3 − sqrt(25)) / (2·2) = (−3 − 5) / 4 = −8/4 = −2 x2 = (−3 + sqrt(25)) / (2·2) = (−3 + 5) / 4 = 2/4 = 0.5

2. Двойной корень (Δ = 0) Уравнение: x^2 − 4x + 4 = 0

• a = 1, b = −4, c = 4
• Δ = (−4)^2 − 4·1·4 = 16 − 16 = 0
• Корень: x = −(−4) / (2·1) = 4/2 = 2

3. Отрицательный дискриминант (Δ < 0) Уравнение: x^2 + x + 1 = 0

• a = 1, b = 1, c = 1
• Δ = 1^2 − 4·1·1 = 1 − 4 = −3
• Действительных корней нет; есть два комплексных брата: x = (−1 ± i√3)/2

Полезные заметки

• Дискриминант помогает быстро понять геометрическую картину параболы: сколько точек пересечения с осью x.
• Если Δ является квадратом натурального числа, корни рациональны и обычно можно их легко найти вручную.
• Всегда проверяйте случай a = 0 и не забывайте про линейное уравнение.

Если хочешь, могу привести решение еще нескольких задач с различными Δ или показать графическую интерпретацию корней.