Https://yandex.ru/search/touch/?text=%D0%92+%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B5+ABC+%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B0+%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D0%B0+AF.+%D0%94%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%2C+%D1%87%D1%82%D0%BE+2AF+%3C+AB+%2B+AC&lr=213

Задача: В треугольнике ABC проведена медиана AF (F — середина BC). Доказать, что 2 AF < AB + AC. Решение (пошагово): 1) Введём векторы от A: - u = AB вектор = B − A; - v = AC вектор = C − A. Длина векторов равна AB = |u| и AC = |v|. 2) Заметим, что вектор AF равен (AB + AC)/2 вектору: AF = F − A = ((B + C)/2) − A = ( (B − A) + (C − A) )/2 = (u + v)/2. Следовательно, удлинение 2 AF равно длине вектора (u + v): |2 AF| = |u + v|. 3) Применим неравенство треугольника для векторов: |u| + |v| ≥ |u + v|. Поскольку треугольник ABC не вырожден (∠A ≠ 0 и ∠A ≠ 180°), векторы u и v не параллельны в одном направлении, поэтому неравенство строгое: |u| + |v| > |u + v|. 4) Подставим обратно: AB + AC = |u| + |v| > |u + v| = 2 AF. Таким образом, 2 AF < AB + AC, как и требовалось. Комментарий: - Неравенство строгого типа получается потому, что для ненулевого угла ∠BAC вектора AB и AC не параллельны в одном направлении (т.е. треугольник не является вырожденным). При вырожденном случае равенство могло бы возникнуть, но задача обычно подразумевает обычный треугольник.