Один из углов треугольника равна 82 градусам. Может ли внешний угол треуголника, не смежный с ним, быть равным: 1)80 градусам, 2)82 градусам?

Задача: в треугольнике один угол равен 82°. Может ли внешний угол, не смежный с ним, быть равным 1) 80° или 2) 82°?

Пошаговое решение:

1. Обозначим углы треугольника так: A = 82°, остальные углы — B и C. Тогда B > 0°, C > 0° и A + B + C = 180°, значит B + C = 98°.

2. Внешний угол, не смежный с углом A, находится около другого угла треугольника, например около B, и равен E_B = 180° − B. Аналогично около C внешний угол E_C = 180° − C.

3. Рассмотрим вариант 1: внешний угол равен 80°.

• Если E_B = 80°, то B = 100°. Но из B + C = 98° следует C = −2°, что невозможно для обычного треугольника.
• То же самое верно для E_C: если E_C = 80°, то C = 100°, тогда B = −2°, снова невозможно. Значит, внешний угол, не смежный с A, не может быть 80°.

4. Рассмотрим вариант 2: внешний угол равен 82°.

• Если E_B = 82°, то B = 98°. Тогда C = 0°, что даёт вырожденный треугольник (нет реальных сторон). Аналогично E_C = 82° приводит к C = 98° и B = 0°, тоже вырожденный случай. И в обычном треугольнике такой угол не допустим.

5. Вывод:

• Ни для 80°, ни для 82° не может существовать невырожденный треугольник с углом A = 82° и внешним углом не смежным к нему равным указанным значениям.

Дополнительная мысль: для не смежных внешних углов имеем E_B = 180° − B и E_C = 180° − C, при B > 0°, C > 0° и B + C = 98°. Следовательно E_B и E_C лежат в диапазоне (82°, 180°). Поэтому они не могут быть ни 80°, ни 82° в нормальном треугольнике.