постройте график функции с объяснениями действий: y=1-x²

Ниже подробная пошаговая инструкция по построению графика функции y = 1 - x^2 и объяснения каждого шага.

1. Определение типа функции

• Это квадратичная функция. Её график — парабола.
• Коэффициент при x^2 равен -1, значит парабола открывается вверх или вниз? Вверх — если a > 0, вниз — если a < 0. Здесь a = -1, значит парабола открывается вниз.

2. Переписывание в форму вершинной

• y = 1 - x^2 можно записать как y = -(x - 0)^2 + 1.
• Из формы вершинной видно: вершина параболы находится в точке (h, k) = (0, 1).
• Ось симметрии — это вертикальная прямая x = h = 0.

3. Основные пересечения и характерные точки

• Пересечение с осью y (y-осью): ставим x = 0 → y = 1. Точка пересечения с осью y: (0, 1) — это также вершина.
• Пересечения с осью x (x-осью): при y = 0 получаем 1 - x^2 = 0 → x^2 = 1 → x = ±1. То есть точки пересечения с осью x: (-1, 0) и (1, 0).
• Диапазон значений (область значения): так как вершина максимальная и парабола открывается вниз, y ≤ 1. Значение 1 достигается в вершине; минимальное значение на неограниченном графике стремится к -∞.
• Остальные точки для примера (помогут на рисунке):
  • x = -2: y = 1 - 4 = -3 → (-2, -3)
  • x = -0.5: y = 1 - 0.25 = 0.75 → (-0.5, 0.75)
  • x = 0.5: y = 0.75 → (0.5, 0.75)
  • x = √3 ≈ 1.732: y = 1 - 3 = -2 → (1.732, -2)

4. Характеристики графика

• Вершина: (0, 1)
• Ось симметрии: x = 0
• Направление: парабола открывается вниз (a = -1)
• Пересечения: y-пересечение (0, 1); x-пересечения (-1, 0) и (1, 0)
• Область значений: y ≤ 1
• Поскольку функция четная (f(-x) = f(x)), график симметричен относительно оси y (осы симметрии).

5. Как построить график на бумаге (практика)

• Проведите координатную сетку.
• Отметьте вершину в (0, 1) и нарисуйте точку на оси y: (0, 1).
• Отметьте пересечения с осями: (1, 0) и (-1, 0) на оси x.
• Построете еще 2–3 пары точек для точности: например (-2, -3), (-0.5, 0.75), (0.5, 0.75).
• Соедините точки плавной симметричной дугой, плавно переходя от левой стороны к правой, чтобы получить красивую параболу вниз.
• Убедитесь, что график симметричен относительно оси x = 0 и максимумом является вершина (0, 1).

6. Краткое резюме свойств графика

• Функция: y = 1 - x^2
• Тип графика: парабола, нисходящая вверх и вниз, вершина в (0, 1), ось симметрии x = 0
• Пересечения: с осью y в (0, 1); с осью x в (-1, 0) и (1, 0)
• Область значений: y ≤ 1

Если нужно, могу привести таблицу значений или нарисовать график в виде ASCII-изображения или с помощью точных координат для построения на конкретном листе.