Y=2/3x³-x²-4x+5 график функции

Задача: график функции y = (2/3)x^3 - x^2 - 4x + 5 Цель: понять график и его ключевые точки. Ниже подробное решение и ориентировочный набор точек для построения. 1) Основные сведения - Область определения: все вещественные числа (пределов нет). - Вертикальные асимптоты отсутствуют. - Поведение при x → ±∞: старший член (2/3)x^3 доминирует, поэтому при x → +∞ график goes вверх, а при x → −∞ goes вниз (положительная дробь на кубе). 2) Точки перегиба и критические точки - Производная: f'(x) = d/dx[(2/3)x^3 - x^2 - 4x + 5] = 2x^2 - 2x - 4 = 2(x+1)(x-2). - Критические точки: f'(x) = 0 при x = -1 и x = 2. - Вторые производные: f''(x) = 4x - 2. - f''(-1) = -6 < 0 → x = -1 — локальный максимум. - f''(2) = 6 > 0 → x = 2 — локальный минимум. - Координаты точек перегиба/критических точек: - y(-1) = (2/3)(-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1) + 5 = -2/3 - 1 + 4 + 5 = 22/3 ≈ 7.333. - y(2) = (2/3)(8) - 4 - 8 + 5 = 16/3 - 7 = -5/3 ≈ -1.667. 3) Пересечения с осями - Пересечение с осью y: при x = 0, y = 5 → точка (0, 5). - Пересечения с осью x (решение y = 0 для кубического уравнения): Уравнение (2/3)x^3 - x^2 - 4x + 5 = 0 можно привести к целочисленному виду: 2x^3 - 3x^2 - 12x + 15 = 0. Точные рациональные корни не получаются (проверяем простые кандидаты и получается не ноль). Приближённые корни: - Первый корень около x ≈ -2.37. - Второй корень около x ≈ 1.175. - Третий корень около x ≈ 2.69. Итог: функция пересекает ось x в примерно x ≈ -2.37, x ≈ 1.18 и x ≈ 2.69. 4) Интервалы монотоничности - f'(x) = 2(x+1)(x-2): - Для x < -1: (x+1) < 0, (x-2) < 0 → произведение положительно → функция возрастает. - На (-1, 2): (x+1) > 0, (x-2) < 0 → произведение отрицательно → функция убывает. - Для x > 2: (x+1) > 0, (x-2) > 0 → функция возрастает. - Следовательно: - Возрастает на (-∞, -1], достигает максимума у x = -1 (y ≈ 7.333). - Убывает на [-1, 2], достигает минимума на x = 2 (y ≈ -1.667). - Затем возрастает на [2, ∞). 5) Короткий набор точек для построения - y-intercept: (0, 5). - Точки максимум и минимум: (-1, 7.333) и (2, -1.667). - Приближённые пересечения с осью x: ≈ (-2.37, 0), (1.18, 0), (2.69, 0). - Дополнительные ориентировочные точки: - x = -3: y ≈ -10 (для общего представления направления на краю левой части графика). - x = -2: y ≈ 3.67. - x = 1: y ≈ 0.667. - x = 3: y ≈ 2. 6) Как нарисовать график (план) - Начать слева: график идёт из −∞ и возрастает до локального максимума в(-1, 7.333). - Затем идёт вниз, пересекает ось x около x ≈ -2.37 слева от максимума и снова вблизь к оси между -1 и 2, причем в районе x ≈ 1.18 и снова в районе x ≈ 2.69 (третье пересечение). - Достигнув минимума в (2, −1.667), график поворачивает вверх и уходит на бесконечность к +∞. - Применить маркеры: отметьте точки пересечения с осями, максимум и минимум, и три найденных корня. Соединяйте плавной кривой, соблюдая характерные изгибы в точках x = -1 и x = 2. 7) Короткое резюме - График кубической линейно-кубической функции y = (2/3)x^3 - x^2 - 4x + 5 имеет: - локальный максимум в (-1, 22/3), - локальный минимум в (2, -5/3), - три действительных корня x ≈ -2.37, 1.18, 2.69, - y-intercept в (0, 5). - Функция возрастает на (-∞, -1) и (2, ∞), убывает на (-1, 2). Если хотите, могу построить график или дать более точные значения корней с помощью численного метода (Ньютона или биекции) и приложить компактную таблицу точек для печати.