Постройте график функции у=(х-1)²+1

Задача: Постройте график функции y = (x - 1)^2 + 1 Контекст: Алгебра, 9 класс. Цель: понять. Пошаговое решение и объяснения 1) Узнать форму параболы и параметры - Функция дана в форме канонической параболы y = a(x - h)^2 + k. - Здесь a = 1, h = 1, k = 1. - Следовательно: - вершина параболы находится в точке V = (h, k) = (1, 1). - ветви параболы открываются вверх, поскольку a > 0. 2) Свойства графика по канонической форме - Ось симметрии: x = h = 1. - Минимум функции достигается в вершине: y_min = k = 1. - Область определения: все вещественные x. - Множество значений (диапазон): y ≥ 1. - Пересечения: - с осью y (y-осью): поставить x = 0: y = (0 - 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2, значит точка пересечения с осью y: (0, 2). - с осью x: решить (x - 1)^2 + 1 = 0. Левое слагаемое неотрицательно, поэтому сумма ≥ 1; равенство 0 недостижимо. Значит реальных x-пересечений с осью Ox нет (нет корней у у = 0). 3) Таблица точек (для лучшего наброска графика) - Подставим несколько значений x и найдём y: - x = -1: y = (-1 - 1)^2 + 1 = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 - x = 0: y = (0 - 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 - x = 1: y = (1 - 1)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 (вершина) - x = 2: y = (2 - 1)^2 + 1 = 1^2 + 1 = 2 - x = 3: y = (3 - 1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5 4) Как построить график - Отметьте вершину V(1, 1). - Проведите вертикальную ось симметрии x = 1. - Постройте несколько точек: (-1, 5), (0, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 5) и соедините их плавной параболической кривой. - Убедитесь, что график открывается вверх и достигает минимального значения y = 1 в вершине. 5) Кратко вывод - График параболы: y = (x - 1)^2 + 1. - Вершина: (1, 1). - Ось симметрии: x = 1. - Диапазон: [1, ∞). - Корней уравнения y = 0 нет (поэтому пересечения с осью Ox отсутствуют). - y-пересечение с осью Ox: (0, 2). - Приведение к стандартной форме: y = x^2 - 2x + 2 (для проверки можно использовать дискриминант: D = (-2)^2 - 4·1·2 = 4 - 8 = -4 < 0, следовательно, корней нет). Если хотите, могу привести более подробное черчение или построить график в текстовом виде рядом с точками.