Постройте график функции у=(х-1)²+1

Задача: Постройте график функции y = (x - 1)^2 + 1

Контекст: Алгебра, 9 класс. Цель: понять.

Пошаговое решение и объяснения

1. Узнать форму параболы и параметры

• Функция дана в форме канонической параболы y = a(x - h)^2 + k.
• Здесь a = 1, h = 1, k = 1.
• Следовательно:
  • вершина параболы находится в точке V = (h, k) = (1, 1).
  • ветви параболы открываются вверх, поскольку a > 0.

2. Свойства графика по канонической форме

• Ось симметрии: x = h = 1.
• Минимум функции достигается в вершине: y_min = k = 1.
• Область определения: все вещественные x.
• Множество значений (диапазон): y ≥ 1.
• Пересечения:
  • с осью y (y-осью): поставить x = 0: y = (0 - 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2, значит точка пересечения с осью y: (0, 2).
  • с осью x: решить (x - 1)^2 + 1 = 0. Левое слагаемое неотрицательно, поэтому сумма ≥ 1; равенство 0 недостижимо. Значит реальных x-пересечений с осью Ox нет (нет корней у у = 0).

3. Таблица точек (для лучшего наброска графика)

• Подставим несколько значений x и найдём y:
  • x = -1: y = (-1 - 1)^2 + 1 = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5
  • x = 0: y = (0 - 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2
  • x = 1: y = (1 - 1)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 (вершина)
  • x = 2: y = (2 - 1)^2 + 1 = 1^2 + 1 = 2
  • x = 3: y = (3 - 1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5

4. Как построить график

• Отметьте вершину V(1, 1).
• Проведите вертикальную ось симметрии x = 1.
• Постройте несколько точек: (-1, 5), (0, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 5) и соедините их плавной параболической кривой.
• Убедитесь, что график открывается вверх и достигает минимального значения y = 1 в вершине.

5. Кратко вывод

• График параболы: y = (x - 1)^2 + 1.
• Вершина: (1, 1).
• Ось симметрии: x = 1.
• Диапазон: [1, ∞).
• Корней уравнения y = 0 нет (поэтому пересечения с осью Ox отсутствуют).
• y-пересечение с осью Ox: (0, 2).
• Приведение к стандартной форме: y = x^2 - 2x + 2 (для проверки можно использовать дискриминант: D = (-2)^2 - 4·1·2 = 4 - 8 = -4 < 0, следовательно, корней нет).

Если хотите, могу привести более подробное черчение или построить график в текстовом виде рядом с точками.