Докажите следующее утверждение:три точки A B и C лежат на одной прямой тогда и только тогда,когда существуют числа K,L и M,одновременно не равные нулю,такие,что k+1+m=0 и для…

Обозначим OA как вектор from O до A: OA = A − O (то есть вектор положения точки A относительно точки O). Аналогично OB = B − O, OC = C − O.

Утверждение: три точки A, B и C лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа K, L и M, все они не нули, такие что K + L + M = 0 и для любой точки O выполняется K·OA + L·OB + M·OC = 0.

Докажем обе стороны.

1. Пусть A, B, C лежат на одной прямой. Тогда существует параметр t such that B = tA + (1 − t)C (то есть B — аффинное сочетание A и C). Возьмём K = t, L = −1, M = 1 − t. Тогда K + L + M = t − 1 + (1 − t) = 0, и для любого O: K·OA + L·OB + M·OC = t(A − O) − (B − O) + (1 − t)(C − O) = (tA − B + (1 − t)C) − (t − 1 + 1 − t)O = (tA − B + (1 − t)C) − 0·O = tA − B + (1 − t)C. Но B = tA + (1 − t)C, значит tA − B + (1 − t)C = 0. Следовательно искомое равенство выполнено. При условии, что A, B, C различны и B не совпадает ни с A, ни с C, можно выбрать t так, чтобы K, L, M были все ненулевые (например, t ∈ (0,1)).

2. Пусть существуют K, L и M, не равные нулю, такие что K + L + M = 0 и для любой точки O выполняется K·OA + L·OB + M·OC = 0. Тогда: 0 = K·OA + L·OB + M·OC = K(A − O) + L(B − O) + M(C − O) = (K A + L B + M C) − (K + L + M)O = (K A + L B + M C) − 0·O. Отсюда K A + L B + M C = 0. Так как L ≠ 0, получаем: B = −(K/L)A − (M/L)C. Из условия K + L + M = 0 следует L = −(K + M), и поэтому B = (K/(K + M)) A + (M/(K + M)) C. Сумма коэффициентов равна 1, значит B лежит на прямой AC, т.е. A, B, C коллинеарны.

Итак, выполняется равносильное утверждение: A, B и C лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда найдутся K, L, M, не все нули, такие что K + L + M = 0 и для любой точки O выполняется K·OA + L·OB + M·OC = 0.