(5y-1)(5y+1)+6x(6x-10y) найдите наименьшее возможное значение

Задача: найти наименьшее значение выражения (5y−1)(5y+1) + 6x(6x−10y).

Пошаговое решение:

1. Раскроем скобки:

• (5y−1)(5y+1) = 25y^2 − 1
• 6x(6x − 10y) = 36x^2 − 60xy

Итого: E = 25y^2 − 1 + 36x^2 − 60xy = 36x^2 − 60xy + 25y^2 − 1.

2. Заметим, что квадратичную часть можно записать как квадрат: 36x^2 − 60xy + 25y^2 = (6x − 5y)^2.

Поэтому выражение можно переписать так: E = (6x − 5y)^2 − 1.

3. Поскольку (6x − 5y)^2 неотрицательно for любых x, y, минимальное значение достигается тогда, когда 6x − 5y = 0.

4. Условие минимума: 6x = 5y, то есть y = (6/5)x (или любой парой, удовлетворяющей 6x = 5y).

Значение минимума: E_min = 0 − 1 = −1.

Ответ: минимальное значение равно −1 и достигается при любых x, y, удовлетворяющих 6x = 5y (например, x = 5t, y = 6t для любого t).