Футбольный мяч сшит из 12 белых пятигранников и чёрных шестигранников. Сколько чёрных шестигранников. Нужно решить для 7 класса

Задача на готовые решения для футбольного мяча (модель полей - trunc. икосаэдр). Итог: черных шестигранников = 20. Пошаговое решение для 7 класса 1) Полезная идея - У футбольного мяча (триумфально: правильный усечённый икосаэдр) вокруг каждого ребра соединяются две фигуры: одна pentagon (пятиугольник) и две hexagon (шестигранники). Это значит: - вокруг каждого вершины сходятся три ребра. - в каждой вершине встречаются одна pentagon и две hexagon. - В нашем случае известно: белых pentagon — 12. 2) Найдём число вершин (V) - Каждый пятиугольник имеет 5 вершин, значит всего у всех pentagon вместе 12 × 5 = 60 вершин «зашито» в их углах. - В этой конструкции вокруг каждой вершины находится именно одна pentagon (передняя окружность не может касаться другой pentagon в той же вершине). Значит каждая вершина относится к одному из углов pentagon и к ней привязаны три ребра. - Поэтому число вершин V равно 60. 3) Найдём число рёбер (E) - В любой такой фигуре вокруг каждой вершины сходятся 3 ребра, значит суммарная степень вершин равна 3V. - Но каждое ребро считается в степени двух вершин, значит 3V = 2E, отсюда E = 3V/2 = 3·60/2 = 90. 4) Используем формулу Эйлера - Для выпуклого многогранника верная формула: V − E + F = 2, где F — число граней. - У нас F состоит из 12 pentagon и неизвестного количества hexagon: F = 12 + H. - Подставим: 60 − 90 + (12 + H) = 2. - Левую часть упростим: -30 + 12 + H = 2 → H = 20. 5) Проверка (опционально) - Можно проверить по подсчёту граней: 2E = сумма длин граней = 5×12 + 6×H = 60 + 6H. Подставляем E = 90: 180 = 60 + 6H → H = 20. Совпадает. Ответ: черных шестигранников 20.