Футбольный мяч сшит из 12 белых пятигранников и чёрных шестигранников. Сколько чёрных шестигранников. Нужно решить для 7 класса

Задача на готовые решения для футбольного мяча (модель полей - trunc. икосаэдр).

Итог: черных шестигранников = 20.

Пошаговое решение для 7 класса

1. Полезная идея

• У футбольного мяча (триумфально: правильный усечённый икосаэдр) вокруг каждого ребра соединяются две фигуры: одна pentagon (пятиугольник) и две hexagon (шестигранники). Это значит:
  • вокруг каждого вершины сходятся три ребра.
  • в каждой вершине встречаются одна pentagon и две hexagon.
• В нашем случае известно: белых pentagon — 12.

2. Найдём число вершин (V)

• Каждый пятиугольник имеет 5 вершин, значит всего у всех pentagon вместе 12 × 5 = 60 вершин «зашито» в их углах.
• В этой конструкции вокруг каждой вершины находится именно одна pentagon (передняя окружность не может касаться другой pentagon в той же вершине). Значит каждая вершина относится к одному из углов pentagon и к ней привязаны три ребра.
• Поэтому число вершин V равно 60.

3. Найдём число рёбер (E)

• В любой такой фигуре вокруг каждой вершины сходятся 3 ребра, значит суммарная степень вершин равна 3V.
• Но каждое ребро считается в степени двух вершин, значит 3V = 2E, отсюда E = 3V/2 = 3·60/2 = 90.

4. Используем формулу Эйлера

• Для выпуклого многогранника верная формула: V − E + F = 2, где F — число граней.
• У нас F состоит из 12 pentagon и неизвестного количества hexagon: F = 12 + H.
• Подставим: 60 − 90 + (12 + H) = 2.
• Левую часть упростим: -30 + 12 + H = 2 → H = 20.

5. Проверка (опционально)

• Можно проверить по подсчёту граней: 2E = сумма длин граней = 5×12 + 6×H = 60 + 6H. Подставляем E = 90: 180 = 60 + 6H → H = 20. Совпадает.

Ответ: черных шестигранников 20.