Две прямые пересекаются в точке М докажите что все прямые не проходят через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости

Картину можно понять так: две прямые L1 и L2 пересекаются в точке M. Сформулируем и разберём два связанных утверждения: - Утверждение A (часть задачи, как её обычно понимают): любые прямые, пересекающие обе заданные прямые L1 и L2 в точках отличных от M, лежат в одной плоскости с L1 и L2, то есть они все coplanar с ними. - Замечание: доказать, что “все прямые не проходят через точку M” неправильно: существуют прямые через M, которые пересекают L1 и L2 (в точке M и ещё в другой точке). Поэтому корректнее формулировать через прямые, пересекающие данные прямые в точках не равных M. Поэтому приведём решение для корректной формулировки: пусть l пересекает L1 в точке A и L2 в точке B, причём A ≠ M и B ≠ M. Докажем, что l лежит в одной плоскости с L1 и L2, и в частности не проходит через M. Детальное решение (пошагово) 1) Лежит ли L1 и L2 в одной плоскости? - Так как две прямые пересекаются, существует уникальная плоскость π, содержащая обе прямые L1 и L2. Эта плоскость образована любыми трём точкам, не лежащим на одной прямой: например, точки M, A и B (M лежит на обеих прямых, A на L1, B на L2). 2) Где лежит прямая l, пересекающая L1 и L2? - Прямая l пересекает L1 в точке A и L2 в точке B. Точки A и B принадлежат L1 и L2 соответственно, следовательно A и B принадлежат плоскости π. Любая прямая, проходящая через две точки плоскости, целиком принадлежит этой же плоскости. Следовательно, прямая l ⊂ π. 3) Может ли l проходить через M, если A ≠ M и B ≠ M? - Предположим, что l проходит через M. Тогда M, A, B лежат на одной прямой l. - Но A ∈ L1 и B ∈ L2, и L1 ∩ L2 = {M}. Если A ≠ M и B ≠ M, то L2 не содержит A, а L1 не содержит B. - Из условия l = AB и того, что l проходит через M, следует, что A, M, B лежат на одной прямой. Но тогда прямая L2 (через M и B) и прямая L1 (через M и A) обе содержат две точки M и B (или M и A) и поэтому либо совпали бы, либо пересекали бы иначе, чем в M, что противоречит тому, что L1 и L2 пересекаются только в M. Следовательно, если A ≠ M и B ≠ M, то l не может проходить через M. - Иное более короткое объяснение: если l passes через M и через A ≠ M, то l совпадает с MA. Но тогда L2 тоже содержит M и B; чтобы B ∈ MA, L2 должен coincide с MA, что означает A ∈ L2, противоречия с L1 ∩ L2 = {M}. Поэтому такое l не может проходить через M. 4) Вывод - Любая прямая l, пересекающая L1 и L2 в точках A и B ≠ M, лежит в той же плоскости π, которая содержит L1 и L2. - Такая прямая не проходит через M. - Таким образом, все такие прямые являются коплана́рными с данными прямыми и лежат в одной плоскости. Дополнительный вариант доказательства (координатный) - Пусть M = (0,0,0). Пусть L1 = {(t, 0, 0)} и L2 = {(0, s, 0)} — две прямые, пересекающиеся в M и лежащие в плоскости z = 0. - Любая прямая l, пересекающая L1 в A = (a, 0, 0) и L2 в B = (0, b, 0) (где a ≠ 0 и b ≠ 0, чтобы A ≠ M и B ≠ M) будет иметь вид прохождения через A и B, т.е. лежать в плоскости z = 0. Следовательно l ⊂ плоскость z = 0, то есть с L1 и L2 в одной плоскости. - Если попытаться провести такую прямую через M, то должна была бы существовать прямая AB, такая что A ∈ L1, B ∈ L2 и M ∈ AB. Но тогда A, M, B были бы колlinear; это привело бы к тому, что L1 и L2 имели бы ещё общую точку помимо M, что противоречит их пересечению только в M. Поэтому такие линии, проходящие через M, не пересекают L1 и L2 в точках, отличных от M и не образуют искомую семью. Итог - Корректная формулировка задачи: любые прямые, пересекающие данные прямые L1 и L2 в точках отличных от M, лежат в одной плоскости с L1 и L2. Это следствие того, что L1 и L2 задают плоскость π, и любые точки пересечения A ∈ L1, B ∈ L2 обоих лежат в этой плоскости, а прямая AB, проходящая через эти точки, тоже лежит в π. - Замечание: существуют прямые через M, которые пересекают L1 и L2 (но через M эти пересечения происходят именно в точке M). Поэтому утверждать «все прямые не проходят через M» неверно; корректно говорить о линии, пересекающей обе заданные прямые в точках не равных M.