X⁴-2x³-14x²-6x+5

Решение задачи: x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5 Цель: понять метод разложения многочлена на множители пошагово. 1) Поиск рациональных корней - По теореме рациональных корней возможны корни ±1, ±5 (делители свободного члена 5 и коэффициента при x^4 = 1). - Проверяем x = -1: P(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 14(-1)^2 - 6(-1) + 5 = 1 + 2 - 14 + 6 + 5 = 0. Значит, x + 1 является множителем. 2) Деление на (x + 1) (методом синтетического деления) Разделим многочлен на (x + 1). Коэффициенты: 1, -2, -14, -6, 5 Синтетическое деление при корне -1: - Опускаем 1. - (-1)*1 = -1; прибавляем к -2: -3. - (-1)*(-3) = 3; прибавляем к -14: -11. - (-1)*(-11) = 11; прибавляем к -6: 5. - (-1)*5 = -5; прибавляем к 5: 0. Итак, после деления получаем кубический многочлен: x^3 - 3x^2 - 11x + 5. 3) Поиск корня кубического полинома Проверяем рациональные корни кубического: ±1, ±5. - Проверяем x = 5: Q(5) = 5^3 - 3·5^2 - 11·5 + 5 = 125 - 75 - 55 + 5 = 0. Значит, x - 5 является множителем. 4) Деление кубического на (x - 5) Разделим x^3 - 3x^2 - 11x + 5 на (x - 5). Коэффициенты: 1, -3, -11, 5 Синтетическое деление при корне 5: - Опускаем 1. - 5*1 = 5; прибавляем к -3: 2. - 5*2 = 10; прибавляем к -11: -1. - 5*(-1) = -5; прибавляем к 5: 0. Получаем квадратичный множитель: x^2 + 2x - 1. 5) Итоговое разложение Полином разлагается как x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5 = (x + 1)(x - 5)(x^2 + 2x - 1). 6) Корни квадратного множителя (опционально) Решим x^2 + 2x - 1 = 0: Дискриминант D = 4 - 4(-1) = 8. Корни: x = [-2 ± sqrt(8)]/2 = -1 ± √2. Итак, все корни многочлена: x = -1, x = 5, x = -1 + √2, x = -1 - √2. Ответ (факторизация над целыми числами): (x + 1)(x - 5)(x^2 + 2x - 1). Если нужно разложить далее над корнями irrational, можно записать как: (x + 1)(x - 5)(x + 1 - √2)(x + 1 + √2).