Используя метод Крамера, решить системы уравнений A{4x-2y+3z=4;5x-2y+3z=5;3x-y+z=3;

Задача: решить систему методом Крамера - 4x - 2y + 3z = 4 - 5x - 2y + 3z = 5 - 3x - y + z = 3 1) Запишем коэффициентную матрицу A и вектор свободных членов b: - A = | 4 -2 3 | | 5 -2 3 | | 3 -1 1 | - b = | 4 | | 5 | | 3 | 2) Вычислим детерминант матрицы A: det(A) = 4 * det([-2 3; -1 1]) - (-2) * det([5 3; 3 1]) + 3 * det([5 -2; 3 -1]) = 4 * ((-2)*1 - 3*(-1)) - (-2) * (5*1 - 3*3) + 3 * (5*(-1) - (-2)*3) = 4 * ( -2 + 3 ) - (-2) * (5 - 9) + 3 * ( -5 + 6 ) = 4 * 1 - (-2) * (-4) + 3 * 1 = 4 - 8 + 3 = -1 Det(A) = -1 ≠ 0, значит решение существует и единственно. 3) Применяем формулу Крамера для x, y, z. - Dx: матрица, полученная заменой первого столбца на b: A_x = | 4 -2 3 | | 5 -2 3 | | 3 -1 1 | Det(A_x) = det(A) = -1 x = Det(A_x) / Det(A) = (-1) / (-1) = 1 - Dy: матрица, полученная заменой второго столбца на b: A_y = | 4 4 3 | | 5 5 3 | | 3 3 1 | Det(A_y) = 0 (посчитано ниже) y = Det(A_y) / Det(A) = 0 / (-1) = 0 Подробно: по первой строке Det(A_y) = 4*det[[5,3],[3,1]] - 4*det[[5,3],[3,1]] + 3*det[[5,5],[3,3]] det[[5,3],[3,1]] = 5*1 - 3*3 = -4; det[[5,5],[3,3]] = 5*3 - 5*3 = 0 Det(A_y) = 4*(-4) - 4*(-4) + 3*0 = -16 + 16 + 0 = 0 - Dz: матрица, полученная заменой третьего столбца на b: A_z = | 4 -2 4 | | 5 -2 5 | | 3 -1 3 | Det(A_z) = 0 (показано ниже) z = Det(A_z) / Det(A) = 0 / (-1) = 0 Подробно: Det(A_z) = 4*det([[-2,5],[-1,3]]) - (-2)*det([[5,5],[3,3]]) + 4*det([[5,-2],[3,-1]]) det([[-2,5],[-1,3]]) = (-2)*3 - 5*(-1) = -6 + 5 = -1 det([[5,5],[3,3]]) = 5*3 - 5*3 = 0 det([[5,-2],[3,-1]]) = 5*(-1) - (-2)*3 = -5 + 6 = 1 Det(A_z) = 4*(-1) - (-2)*0 + 4*(1) = -4 + 0 + 4 = 0 4) Полученный корень: - x = 1 - y = 0 - z = 0 5) Проверка (быстрая): - Eq1: 4*1 - 2*0 + 3*0 = 4 ✔ - Eq2: 5*1 - 2*0 + 3*0 = 5 ✔ - Eq3: 3*1 - 0 + 0 = 3 ✔ Ответ: (x, y, z) = (1, 0, 0).