Корень из 5

Задача: корень из 5 (то есть sqrt(5)). Что это значит - sqrt(5) — положительное число x такое, что x^2 = 5. - Это иррациональное число: его точное значение нельзя записать как конечную дробь. Пошаговое решение и объяснения 1) Начальное понимание диапазона - 2^2 = 4, 3^2 = 9. Значит sqrt(5) лежит между 2 и 3. 2) Быстрое приближенное значение методом Ньютона (метод оятка) Общая формула: x_{n+1} = (x_n + 5/x_n) / 2. - Выберем начальное приближение x0 = 2.5. x1 = (2.5 + 5/2.5) / 2 = (2.5 + 2) / 2 = 2.25 - Следующая итерация: x2 = (2.25 + 5/2.25) / 2 5/2.25 = 20/9 ≈ 2.222222... x2 ≈ (2.25 + 2.222222...) / 2 ≈ 4.472222... / 2 ≈ 2.236111... - Еще одна итерация: x3 = (x2 + 5/x2) / 2 5/x2 примерно = 5 / 2.236111... ≈ 2.23606796... x3 ≈ (2.236111... + 2.23606796...) / 2 ≈ 2.23606798... 3) Результат - После нескольких итераций значение сходится к sqrt(5). - Более точное значение: sqrt(5) ≈ 2.2360679775... - Пример проверки: (2.2360679)^2 ≈ 5.0000000 (очень близко). 4) Другие заметки - Быстрые приближения: простое линейное приближение по производной в точке 4 даёт sqrt(5) ≈ sqrt(4) + (5−4)/(2 sqrt(4)) = 2 + 1/4 = 2.25. Это бывает полезно для быстрой оценки, но точнее будет Newton или вычисление на калькуляторе. - Фиксированная точность: если нужна, скажем, 3 знака после запятой, sqrt(5) ≈ 2.236. Итог - Точное обозначение: sqrt(5). - Численно: sqrt(5) ≈ 2.2360679775.