Примеры истинных и ложных высказываний по вероятности и статистике

Ниже собраны примеры истинных и ложных высказываний по вероятности и статистике. Для каждого высказывания указан ответ и короткое пошаговое объяснение. Это подходит для общего школьного уровня (без указания конкретного предмета и класса).

1. Высказывание: При подбрасывании честной монеты вероятность орла на одном броске равна 1/2.

• Истинно.
• Обоснование: два равновероятных исхода — орел и решка. Вероятность любого конкретного исхода = 1/2.

2. Высказывание: Вероятность выпадения 6 на стандартном шестигранном кубике равна 1/6.

• Истинно.
• Обоснование: на кубике одна из шести граней — число 6. Все грани равновероятны.

3. Высказывание: Вероятность того, что в двух последовательных подбрасываниях монеты выпадет хотя бы один орёл, равна 3/4.

• Истинно.
• Обоснование: используем дополнение: P(не будет орла) = (1/2)^2 = 1/4; значит P(хотя бы один орёл) = 1 − 1/4 = 3/4.

4. Высказывание: Сумма вероятностей всех элементарных исходов равна 1.

• Истинно.
• Обоснование: суммарная вероятность полного набора исходов должна равняться 1 (полное событие).

5. Высказывание: Для независимых событий A и B выполнено P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

• Истинно.
• Обоснование: по определению независимости исходы не влияют друг на друга.

6. Высказывание: Для независимых событий A и B P(A | B) = P(A).

• Истинно.
• Обоснование: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = [P(A) P(B)] / P(B) = P(A).

7. Высказывание: Если A и B несовместны, то P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

• Истинно.
• Обоснование: при несовместности пересечение пусто, поэтому формула объединения упрощается до суммы вероятностей.

8. Высказывание: Вероятность получить ровно две орла в трёх подбрасываниях монеты равна 3/8.

• Истинно.
• Обоснование: число способов выбрать две позиции из трёх — C(3,2) = 3. Вероятность каждой такой последовательности = (1/2)^3 = 1/8. Итого 3 · 1/8 = 3/8.

9. Высказывание: Вероятность того, что сумма чисел на двух независимых кубиках равна 7, равна 1/6.

• Истинно.
• Обоснование: существует 6 благоприятных исходов из 36 (например: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)). 6/36 = 1/6.

10. Высказывание: После 9 подряд выпадов орла вероятность орла на следующем броске больше 1/2.

• Ложно.
• Обоснование: для честной монеты каждый бросок независим от предыдущих; вероятность орла остается 1/2 независимо от истории.

11. Высказывание: Если A ⊂ B, то P(A) ≤ P(B).

• Истинно.
• Обоснование: если событие A включено в B, то вероятность A не может быть больше вероятности B.

12. Выражение: Дисперсия распределения может быть отрицательной.

• Ложно.
• Обоснование: дисперсия Var(X) неотрицательна и равна математическому ожиданию квадрата отклонения: Var(X) ≥ 0. Она равна 0 только если все значения X одинаковы.

Дополнительные пояснения (для общего понимания):

• Закон больших чисел: при большом числе повторений относительная частота события стремится к его теоретической вероятности. Это основная идея, почему частоты сходятся к вероятностям при большом объёме данных.
• Формула условной вероятности: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). Это базовый инструмент для работы с зависимыми событиями.
• Независимость: события A и B независимы, если P(A ∩ B) = P(A) P(B). В таком случае P(A | B) = P(A).

Если хочешь, могу адаптировать примеры под конкретный класс (например, 7–9 класс) или выбрать другие темы внутри вероятности и статистики (например, среднее, медиана, мода, выборки и распределения).