3/3-x^2 + 1/x-3

Задача: 3/(3 - x^2) + 1/x - 3. Предположим, что задача записана так, как вы написали: три дроби сложены: 3/(3 - x^2) + 1/x - 3. Если это другое оформление, скажите, и я переделаю.

Цель: понять решение по шагам и объяснить.

1. Определяем область допустимых значений

• Долнители не должны быть нулём: x ≠ 0 и 3 - x^2 ≠ 0 → x^2 ≠ 3 → x ≠ √3 и x ≠ -√3.
• Таким образом, область: x ∈ ℝ, x ≠ 0, ±√3.

2. Соединяем первые две дроби 3/(3 - x^2) + 1/x имеют общий знаменатель D = x(3 - x^2).

• Приведём каждую дробь к этому знаменателю: 3/(3 - x^2) = 3x / [x(3 - x^2)] 1/x = (3 - x^2) / [x(3 - x^2)]
• Сумма: [3x + (3 - x^2)] / [x(3 - x^2)] = (-x^2 + 3x + 3) / [x(3 - x^2)].

3. Вычитаем 3 и приводим к одному дробному выражению Итого выражение равно: (-x^2 + 3x + 3) / [x(3 - x^2)] - 3.

Чтобы вычесть 3, запишем 3 через общий знаменатель: 3 = 3x(3 - x^2) / [x(3 - x^2)].

Тогда числитель станет: (-x^2 + 3x + 3) - 3x(3 - x^2) = (-x^2 + 3x + 3) - (9x - 3x^3) = 3x^3 - x^2 - 6x + 3.

И итоговое выражение: (3x^3 - x^2 - 6x + 3) / [ x(3 - x^2) ].

4. Дополнительные проверки и комментарии

• Можно проверить на конкретном x, например x = 1 (при условии, что не нарушает область): исходно 3/(3-1) + 1/1 - 3 = 3/2 + 1 - 3 = -1/2. Подстановка в полученное выражение даёт (3 - 1 - 6 + 3) / (1*(3 - 1)) = (-1) / 2 = -1/2. Совпадает.
• Форму можно оставить в виде (3x^3 - x^2 - 6x + 3) / (x(3 - x^2)). Это уже упрощённая единая дробь. Факторование числителя не даёт очевидных простых факторов (проверка на простые корни не даёт нулей).

Ответ Сокращённая форма: (3x^3 - x^2 - 6x + 3) / [ x(3 - x^2) ], при x ≠ 0 и x ≠ ±√3.

Если нужно, могу привести альтернативные формы представления или проверить другую трактовку выражения (например, если имелось в виду другое расставление скобок).