Мячик упал с высоты 10 м, отскочил от земли и был пойман на половине высоты. Каковы путь и модель перемещения мячик?

Задача: мяч падает с высоты 10 м, отскакивает от земли и его ловят на высоте 5 м. Найти путь и модель движения мяча. Дано и обозначения: - Начальная высота H0 = 10 м - Ускорение свободного падения g ≈ 9.8 м/с^2 - Коэффициент восстановления при ударе e (отношение скорости после удара к скорости до удара по нормали) - После удара мяч поднимается и достигает высоты h1 = 5 м, где его ловят (на предположении, что ловля происходит на максимальной высоте после отскока) 1) Связь высоты после отскока и коэффициента восстановления После удара мяч летит вверх. Максимальная высота после первого отскока связана с высотой до удара и e так: h1 = e^2 H0. Так как ловят на высоте 5 м, получаем: e^2 H0 = 5 ⇒ e^2 · 10 = 5 ⇒ e^2 = 0.5 ⇒ e = √0.5 ≈ 0.7071. 2) Скорость перед ударом и после удара - Скорость перед ударом (у земли) в момент касания: v0 = √(2 g H0) = √(2 · 9.8 · 10) = √(196) = 14.0 м/с (направлена вниз). - После удара скорость вверх: v1 = e · v0 = 0.7071 · 14.0 ≈ 9.899 м/с. - Это же соответствует скорости, которая даёт высоту h1: v1^2 = 2 g h1 → h1 = v1^2 / (2 g) ≈ (9.899^2) / (2·9.8) ≈ 98 / 19.6 ≈ 5 м (как и требовалось). 3) Время полета до ловли - Время падения до земли из высоты 10 м: t1 = √(2 H0 / g) = √(20 / 9.8) ≈ √(2.0408) ≈ 1.43 с. - Время подъема после отскока до высоты 5 м (до достижения вершины): t2 = v1 / g ≈ 9.899 / 9.8 ≈ 1.01 с. (Это же можно получить как t2 = √(2 h1 / g) = √(2·5 / 9.8) ≈ √(1.0204) ≈ 1.01 с.) - Общая длительность от броска до момента достижения высоты 5 м: t_total ≈ t1 + t2 ≈ 1.43 + 1.01 ≈ 2.44 с. 4) Траектория (путь) и модель движения - Траектория мячика является вертикальной: он движется вдоль одной оси (модель движения по направлениям вверх-вниз вдоль вертикали). - Между ударами мяч свободно падает под действием гравитации (ускорение −g вдоль вертикали). - Удар об землю моделируется мгновенным изменением скорости: скорость до удара направлена вниз, после удара — вверх, модуль скорости умножен на коэффициент восстановления e. - Для данного условия e = √0.5, т. е. скорость после удара примерно 0.707 от скорости перед ударом. - Путь можно записать как два параболических участка: - До удара: y(t) = H0 − (1/2) g t^2, при t ∈ [0, t1], где t1 = √(2 H0 / g). - После удара: пусть t' = t − t1, тогда y(t) = v1 t' − (1/2) g t'^2, пока не достигнута высота h1 = 5 м (апогей после удара). В нашем случае апогей совпадает с высотой 5 м, поэтому максимальная скорость после удара уходит к нулю на высоте 5 м. 5) Сводка цифр - Время падения до земли: ≈ 1.43 с. - Скорость перед ударом: 14.0 м/с вниз. - Коэффициент восстановления: e ≈ 0.707. - Скорость после удара: ≈ 9.90 м/с вверх. - Время подъема до высоты 5 м: ≈ 1.01 с. - Общее время от броска до ловли: ≈ 2.44 с. - Траектория: вертикальная, два параболических участка между ударами; после удара движение вверх до высоты 5 м, затем ловля на самой вершине. Примечание - Если бы ловля происходила не на вершине, а на высоте 5 м во время подъема или спуска, то h1 было бы не обязательно равно 5 м, и коэффициент e можно было бы определить иначе только зная точку ловли и время, но в стандартной формулировке задача предполагает именно ловлю на максимальной высоте после отскока, что и позволяет однозначно определить e.