В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды B метрах, меняется по закону H( tau)=H 0 - sqrt 2g*H_{0}*kt + g/2 * k ^ 2 * t ^ 2 , где время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 = 5N - начальная высота столба воды, k= 1/900 - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, ад ускорение свободного падения (считайте g = 10M / (c ^ 2) ) Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды

Задача понятна. Решим подробно. Даны: - H0 = 5 м — начальная высота столба воды. - k = a/A = 1/900 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака (безразмерная константа). - g = 10 м/с^2. - Закон изменения высоты: H(t) = H0 - sqrt(2 g H0)·k·t + (g/2)·k^2·t^2. 1) Диф. уравнение для высоты воды Поток из бака Q через кран по формуле Торричелли: Q = a·v, где v = sqrt(2 g h). Здесь h равно текущей высоте воды H(t) над уровнем выхода. Объем бака V = A·H, поэтому dV/dt = A·dH/dt, а dV/dt = -Q = -a·sqrt(2 g H). Получаем: A·dH/dt = -a·sqrt(2 g H) => dH/dt = -(a/A)·sqrt(2 g H) = -k·sqrt(2 g H). 2) Интегрируем для H(t) Разделим переменные: dH / sqrt(H) = -k·sqrt(2 g) dt. Интегрируем от t = 0 до t, и от H = H0 до H(t): 2[ sqrt(H) - sqrt(H0) ] = -k·sqrt(2 g)·t. Исключая sqrt(H): sqrt(H) = sqrt(H0) - (k·sqrt(2 g)/2)·t. Возведение в квадрат даёт выражение для H(t): H(t) = H0 - sqrt(2 g H0)·k·t + (g/2)·k^2·t^2. Это совпадает с данным законом. 3) Условие для четверти объёма Чтоб оставалось V = V0/4, нужно H = H0/4 (так как V ∝ H при фиксированной площади поперечного сечения бака). Подставим H = H0/4 в конструкцию: H0/4 = H0 - sqrt(2 g H0)·k·t + (g/2)·k^2·t^2. Перенесём все в одну сторону: β t^2 - α t + (3/4)H0 = 0, где α = sqrt(2 g H0)·k, β = (g/2)·k^2. 4) Подстановка чисел Найдем точные значения: - sqrt(2 g H0) = sqrt(2·10·5) = sqrt(100) = 10. - α = 10 · k = 10/900 = 1/90 ≈ 0.011111... (м/с). - β = (g/2)·k^2 = (10/2)·(1/900)^2 = 5/810000 = 1/162000 ≈ 6.1728×10^-6 (м/с^2). - (3/4)H0 = 3.75 м. Квадратное уравнение: (1/162000) t^2 - (1/90) t + 3.75 = 0. У дискриминанта: Δ = α^2 - 4β·(3/4)H0 = (1/90)^2 - 4·(1/162000)·3.75 = 1/8100 - 15/162000 = 1/8100 - 1/10800 = 1/32400. Корень дискриминанта: sqrt(Δ) = 1/180. Корни: t = [α ± sqrt(Δ)] / (2β) = [1/90 ± 1/180] / (2/162000) = [(1/90 ± 1/180)] / (1/81000). Получаем: - меньший корень: t1 = (1/90 - 1/180) / (1/81000) = (1/180) / (1/81000) = 81000/180 = 450 с. - больший корень: t2 = (1/90 + 1/180) / (1/81000) = (1/60) / (1/81000) = 81000/60 = 1350 с. Физически корректным временем является меньший корень, потому что высота H(t) пройдёт через H0/4 раньше достижения нуля высоты (а после t = 900 с вода уже опустится на нуль). Ответ: через 450 секунд (7 минут 30 секунд) после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды.