рациональные дроби

Ниже решение по всем частям 9–10 из приведённой задачи по рациональным дробям. Я пояснил каждый шаг и условия определения.

Задача 9. Составление дробей с заданными числителем и знаменателем

• Правило: рациональная дробь определена тогда, когда знаменатель не равен нулю.

9a. Числитель — произведение x и y, знаменатель — их сумма

• Дробь: (xy) / (x + y)
• Условия определения: x + y ≠ 0
• Пояснение: чтобы дробь была определена, нельзя, чтобы сумма x и y стала нулём.

9b. Числитель — разность a и b, знаменатель — их произведение

• Дробь: (a − b) / (ab)
• Условия определения: ab ≠ 0, то есть a ≠ 0 и b ≠ 0
• Пояснение: знаменатель не должен обнулиться.

9c. Числитель — сумма c и d, знаменатель — их разность

• Дробь: (c + d) / (c − d)
• Условия определения: c − d ≠ 0, то есть c ≠ d
• Пояснение: знаменатель не должен быть нулём.

Задача 10. При каких значениях переменной рациональное выражение имеет смысл 10a. x/(x − 2)

• Определено тогда, когда знаменатель не равен нулю: x − 2 ≠ 0
• Значит: x ≠ 2

10b. (b + 4) / (b^2 + 7)

• Определено, если знаменатель ≠ 0: b^2 + 7 ≠ 0
• Для действительных чисел b^2 ≥ 0, поэтому b^2 + 7 ≥ 7 > 0
• Следовательно: для всех реальных b выражение определено
• Ответ: нет исключений по Real numbers; domain = R

10c. (y^2 − 1)/y + y/(y − 3)

• Выражение записано как сумма двух дробей, поэтому требуется, чтобы оба знаменателя были не нулём: y ≠ 0 и y ≠ 3
• Следовательно: домен = все реальные y, кроме 0 и 3

10d. (a + 10) / [a(a − 1)] − 1

• В первой дроби знаменатель a(a − 1) = 0 тогда и только тогда, когда a = 0 или a = 1
• Следовательно: домен определяется исключением a = 0 и a = 1
• Ответ: a ≠ 0 и a ≠ 1

Если хочешь, могу:

• привести примеры подстановок для каждого случая,
• показать, как привести выражение к одному знаменателю после сложения/вычитания,
• адаптировать решение под конкретный класс или уровень сложности.