Решение задачи по шагам.
Даны:
- AB = D (нужно найти)
- скорости: v1 у первого, v2 у второго, причём v1 = v2 + 10
- они стартуют из A и B навстречу друг другу одновременно
- встреча произошла на расстоянии 28 км от середины отрезка AB
- если бы первый выехал на 45 минут позже второго, они бы встретились в середине AB
- Выразим положение встречи через скорости
Пусть точка встречи находится на расстоянии x км от A (значит от B — D − x).
По условию равенства путей во время встречи:
x / v1 = (D − x) / v2
Отсюда x = D v1 / (v1 + v2).
Расстояние от середины AB до точки встречи равно |x − D/2|. По условию это 28 км.
Так как v1 > v2, точка встречи лежит ближе к B, т.е. x > D/2, значит:
x − D/2 = 28.
Подставим x:
D v1/(v1+v2) − D/2 = 28
D [ v1/(v1+v2) − 1/2 ] = 28.
Упростим выражение, пользуясь v1 = v2 + 10:
v1 − v2 = 10, v1 + v2 = 2v2 + 10.
v1/(v1+v2) − 1/2 = [ (v2+10)/(2v2+10) ] − 1/2
= [ 2(v2+10) − (2v2+10) ] / [ 2(2v2+10) ]
= 10 / [ 4v2 + 20 ]
= 5 / [ 2(v2+5) ].
Тогда
D · 5 / [ 2(v2+5) ] = 28
D = 28 · 2(v2+5) / 5 = (56/5)(v2+5).
- Вторая данная часть условия (про поздний выезд)
Если первый выезжает на 45 минут позже второго, они встречаются в середине AB.
Сценарий: второй стартует в t=0 из B со скоростью v2, первый стартует в t = 0.75 ч из A со скоростью v1.
Встреча в середине означает, что в момент встречи обе части пути равны D/2.
Обозначим время до встречи в этом сценарии как t. Тогда для второго:
позиция от A в момент встречи: D/2 = D − v2 t, отсюда t = D/(2v2).
Для первого: он начал через 0.75 ч, его пройденный путь к моменту встречи равен
v1 (t − 0.75) = D/2.
Подставим t = D/(2v2):
v1 ( D/(2v2) − 0.75 ) = D/2.
Разделим на переменные и подставим v1 = v2 + 10:
( v2 + 10 ) ( D/(2v2) − 0.75 ) = D/2.
После алгебры получается зависимость:
D = (3 v2 (v2 + 10)) / 20.
- Решим систему для v2 и D
Из пункта 1 получаем:
D = (56/5)(v2 + 5).
Из пункта 2 получаем:
D = (3 v2 (v2 + 10)) / 20.
Приравниваем:
(56/5)(v2 + 5) = (3 v2 (v2 + 10)) / 20.
Умножаем на 20:
224 (v2 + 5) = 3 v2 (v2 + 10).
Раскрываем скобки:
224 v2 + 1120 = 3 v2^2 + 30 v2.
Переносим все в одну сторону:
0 = 3 v2^2 − 194 v2 − 1120.
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант:
Δ = 194^2 + 4·3·1120 = 37636 + 13440 = 51076 = 226^2.
Соответственно,
v2 = (194 ± 226) / 6.
Положительное решение: v2 = (194 + 226)/6 = 420/6 = 70 км/ч.
Тогда v1 = v2 + 10 = 80 км/ч.
- Найдём AB
Используем любое выражение для D, например из пункта 1:
D = (56/5)(v2 + 5) = (56/5)·(75) = 56·15 = 840 км.
Проверка:
- точка встречи: x = D v1/(v1+v2) = 840·80/150 = 448 км от A; середина AB = 420 км; расстояние до середины = 28 км. Ок.
- в условиях с задержкой тоже всё сходится (проверка по расчётам даёт середину).
Ответ: расстояние между А и Б равно 840 км. Скорости мотоциклистов: первый — 80 км/ч, второй — 70 км/ч.
