Два мотоциклиста одновременно отправляются навстречу друг к другу из пунктов А и Б. Первый движется на 10 км в час быстрее второго. Мотоциклисты встретились на расстоянии 28 км от…

Решение задачи по шагам.

Даны:

• AB = D (нужно найти)
• скорости: v1 у первого, v2 у второго, причём v1 = v2 + 10
• они стартуют из A и B навстречу друг другу одновременно
• встреча произошла на расстоянии 28 км от середины отрезка AB
• если бы первый выехал на 45 минут позже второго, они бы встретились в середине AB

1. Выразим положение встречи через скорости Пусть точка встречи находится на расстоянии x км от A (значит от B — D − x). По условию равенства путей во время встречи: x / v1 = (D − x) / v2 Отсюда x = D v1 / (v1 + v2).

Расстояние от середины AB до точки встречи равно |x − D/2|. По условию это 28 км. Так как v1 > v2, точка встречи лежит ближе к B, т.е. x > D/2, значит: x − D/2 = 28.

Подставим x: D v1/(v1+v2) − D/2 = 28 D [ v1/(v1+v2) − 1/2 ] = 28.

Упростим выражение, пользуясь v1 = v2 + 10: v1 − v2 = 10, v1 + v2 = 2v2 + 10. v1/(v1+v2) − 1/2 = [ (v2+10)/(2v2+10) ] − 1/2 = [ 2(v2+10) − (2v2+10) ] / [ 2(2v2+10) ] = 10 / [ 4v2 + 20 ] = 5 / [ 2(v2+5) ].

Тогда D · 5 / [ 2(v2+5) ] = 28 D = 28 · 2(v2+5) / 5 = (56/5)(v2+5).

2. Вторая данная часть условия (про поздний выезд) Если первый выезжает на 45 минут позже второго, они встречаются в середине AB.

Сценарий: второй стартует в t=0 из B со скоростью v2, первый стартует в t = 0.75 ч из A со скоростью v1. Встреча в середине означает, что в момент встречи обе части пути равны D/2.

Обозначим время до встречи в этом сценарии как t. Тогда для второго: позиция от A в момент встречи: D/2 = D − v2 t, отсюда t = D/(2v2).

Для первого: он начал через 0.75 ч, его пройденный путь к моменту встречи равен v1 (t − 0.75) = D/2.

Подставим t = D/(2v2): v1 ( D/(2v2) − 0.75 ) = D/2.

Разделим на переменные и подставим v1 = v2 + 10: ( v2 + 10 ) ( D/(2v2) − 0.75 ) = D/2.

После алгебры получается зависимость: D = (3 v2 (v2 + 10)) / 20.

3. Решим систему для v2 и D Из пункта 1 получаем: D = (56/5)(v2 + 5).

Из пункта 2 получаем: D = (3 v2 (v2 + 10)) / 20.

Приравниваем: (56/5)(v2 + 5) = (3 v2 (v2 + 10)) / 20.

Умножаем на 20: 224 (v2 + 5) = 3 v2 (v2 + 10).

Раскрываем скобки: 224 v2 + 1120 = 3 v2^2 + 30 v2.

Переносим все в одну сторону: 0 = 3 v2^2 − 194 v2 − 1120.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: Δ = 194^2 + 4·3·1120 = 37636 + 13440 = 51076 = 226^2.

Соответственно, v2 = (194 ± 226) / 6. Положительное решение: v2 = (194 + 226)/6 = 420/6 = 70 км/ч.

Тогда v1 = v2 + 10 = 80 км/ч.

4. Найдём AB Используем любое выражение для D, например из пункта 1: D = (56/5)(v2 + 5) = (56/5)·(75) = 56·15 = 840 км.

Проверка:

• точка встречи: x = D v1/(v1+v2) = 840·80/150 = 448 км от A; середина AB = 420 км; расстояние до середины = 28 км. Ок.
• в условиях с задержкой тоже всё сходится (проверка по расчётам даёт середину).

Ответ: расстояние между А и Б равно 840 км. Скорости мотоциклистов: первый — 80 км/ч, второй — 70 км/ч.