27в³-125

Задача: 27v³ − 125

Цель: понять и разобрать пошагово.

1. Признание разности кубов

• 27v³ можно записать как (3v)³, а 125 как 5³.
• Значит выражение является разностью кубов: (3v)³ − 5³.

2. Формула разности кубов

• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

3. Применение к нашей выражению

• Пусть a = 3v, b = 5.
• Тогда 27v³ − 125 = (3v − 5)[(3v)² + (3v)(5) + 5²]
• Это равно: (3v − 5)(9v² + 15v + 25).

4. Проверка (по желанию)

• Раскрывая скобки: (3v − 5)(9v² + 15v + 25) = 27v³ − 125.
• Проверка подстановкой v = 1: левая часть 27·1 − 125 = −98; правая часть (3−5)(9+15+25) = (−2)(49) = −98. Соответствие.

5. Примечание по решению уравнения (если требуется)

• Если нужно решить 27v³ − 125 = 0, то видно из факторизации: (3v − 5)(9v² + 15v + 25) = 0.
• Корень из линейного множителя: v = 5/3.
• Квадратный множитель имеет дискриминант D = 15² − 4·9·25 = 225 − 900 = −675 < 0, следовательно других действительных корней нет.

Итог: 27v³ − 125 можно разложить как (3v − 5)(9v² + 15v + 25).