Реши задачи на фото

Ниже подробные решения для задач на фото. Я разделил решение по пунктам задачи и дал пошагово, чтобы было понятно, как получили ответ. Проблемные места помечу заметкой (при необходимости могу скорректировать по вашему прочтению задач). 1) Представить в тригонометрической форме числа 1) (1 + i) / √2 - |1+i| = √2, arg(1+i) = π/4. Делим на √2, получаем модуль r = √2 / √2 = 1, угол не меняется: φ = π/4. - Итого: z = cos(π/4) + i sin(π/4) = 1/√2 + i/√2. - В тригонометрической форме: z = cis(π/4) или e^{iπ/4}. 2) √3 − i - |√3 − i| = √(3 + 1) = 2. Угол: tan φ = (−1)/√3, x > 0, y < 0 → φ = −π/6 (или 11π/6). - Следовательно z = 2 [cos(−π/6) + i sin(−π/6)] = 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6)). - В тригонометрической форме: r = 2, φ = −π/6 (или 11π/6). 3) −5 - Это вещественное число на отрицательной оси: модуль r = 5, аргумент φ = π (или −π). - z = 5(cos π + i sin π) = 5 e^{iπ}. 4) −√3 − i - Модуль r = √(3 + 1) = 2. Аргумент: x < 0, y < 0 → III квадрант, φ = π + π/6 = 7π/6. - z = 2[cos(7π/6) + i sin(7π/6)] = 2(cos 7π/6 + i sin 7π/6). 5) 3 + 4i - Модуль r = √(9 + 16) = 5. Угол: tan φ = 4/3, в первом квадранте → φ = arctan(4/3). - Косинус и синус: cos φ = 3/5, sin φ = 4/5. - z = 5[cos φ + i sin φ], где cos φ = 3/5, sin φ = 4/5. То есть z = 3 + 4i (в тригонометрической форме: r = 5, φ = arctan(4/3)). 2) Решить систему (2 − i)x + (3 + 2i)y = 1 − i i x + (1 − 5i)y = 6 + 3i Обозначим уравнения: A: (2 − i)x + (3 + 2i)y = 1 − i B: i x + (1 − 5i)y = 6 + 3i Из второго уравнения: x = [(6 + 3i) − (1 − 5i)y] / i Деление на i равно умножению на −i: x = −i(6 + 3i) + (−i)(1 − 5i)y = (3 − 6i) + (5 + i)y. Подставляем в первое: (2 − i)[(3 − 6i) + (5 + i)y] + (3 + 2i)y = 1 − i Вычислим отдельно: (2 − i)(3 − 6i) = −15i (2 − i)(5 + i) = 11 − 3i Тогда получается: −15i + (11 − 3i)y + (3 + 2i)y = 1 − i (14 − i)y = 1 − i + 15i = 1 + 14i y = (1 + 14i) / (14 − i) Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённый к знаменателю: y = [(1 + 14i)(14 + i)] / (14^2 + 1) = (197i) / 197 = i Теперь x: x = (3 − 6i) + (5 + i)y = (3 − 6i) + (5 + i)i = (3 − 6i) + (5i − 1) = 2 − i Ответ: x = 2 − i, y = i. 3) Выполнить указанные действия 1) (1 + √3 i)^9 - Запишем в полярной форме: |1 + √3 i| = √(1 + 3) = 2, аргумент φ = arctan(√3) = π/3. - Тогда z^9: модуль 2^9 = 512, аргумент 9·π/3 = 3π. - cos(3π) = −1, sin(3π) = 0 → z^9 = −512. 2) (−1 + i)^7 (или 17 — в зависимости от прочтения) - Пусть читается как 7: z = −1 + i имеет модуль √2 и аргумент 3π/4. - z^7 имеет модуль (√2)^7 = 2^{7/2} = 8√2, аргумент 7·3π/4 = 21π/4 ≡ 5π/4. - Значит z^7 = 8√2[cos(5π/4) + i sin(5π/4)] = 8√2(−√2/2 − i√2/2) = −8 − 8i. - Если же задачa задана как 17, то результат другой: (−1 + i)^17 = −256 + 256i. (Уточните, какой именно вариант имеется.) 3) f(z) = z^3 − 3z^2; найти f(1 + 2i) - z^2 = (1 + 2i)^2 = 1 + 4i − 4 = −3 + 4i - z^3 = z^2 · z = (−3 + 4i)(1 + 2i) = −11 − 2i - f(z) = z^3 − 3z^2 = (−11 − 2i) − 3(−3 + 4i) = (−11 − 2i) + 9 − 12i = −2 − 14i 4) Найти и изобразить на комплексной плоскости все значения следующих корней 1) ∛i (кубические корни) - i = cis(π/2). Кубические корни имеют модуль 1 и углы (π/2 + 2πk)/3, k = 0,1,2. - Значения: cis(π/6) = √3/2 + i/2; cis(5π/6) = −√3/2 + i/2; cis(3π/2) = −i. 2) √(-16) = ±4i. 3) √(24 + 10i) - Решаем z^2 = 24 + 10i. Положим z = a + ib. - a^2 − b^2 = 24, 2ab = 10 → ab = 5. - Решая, находим z = 5 + i или z = −5 − i. 4) ∛(1 − i√3) (кроме того здесь 1 − i√3 имеет модуль 2, аргумент −π/3) - Корни: z_k = 2^{1/3} cis((−π/3 + 2πk)/3), k = 0,1,2. - Т.е. z1 = 2^{1/3} cis(−π/9), z2 = 2^{1/3} cis(5π/9), z3 = 2^{1/3} cis(11π/9). 5) √{ (3 + i) / (2 + i) } - Сначала разделим комплексно: (3 + i)/(2 + i) = [(3 + i)(2 − i)]/[ (2 + i)(2 − i) ] = (7 − i)/5 = 7/5 − (1/5)i. - Нужно найти квадратный корень из u + iv, где u = 7/5, v = −1/5. - Пусть w = a + ib, тогда a^2 − b^2 = 7/5, 2ab = −1/5, и a^2 + b^2 = √2. - Решения: a^2 = (√2)/2 + 7/10 = (5√2 + 7)/10, b^2 = (√2)/2 − 7/10 = (5√2 − 7)/10, и знак b таков, чтобы 2ab = −1/5. - Таким образом один корень: w1 = sqrt((5√2 + 7)/10) − i sqrt((5√2 − 7)/10); второй корень w2 = −sqrt((5√2 + 7)/10) + i sqrt((5√2 − 7)/10). 6) Решить квадратное уравнение z^2 − (7 + i)z + (12 − i) = 0 - Дискриминант Δ = (7 + i)^2 − 4(12 − i) = (49 + 14i − 1) − (48 − 4i) = 18i. - sqrt(Δ) = ± 3(1 + i). - Корни: z = [(7 + i) ± 3(1 + i)]/2. - z1 = [7 + i + 3 + 3i]/2 = (10 + 4i)/2 = 5 + 2i. - z2 = [7 + i − 3 − 3i]/2 = (4 − 2i)/2 = 2 − i. 7) Примечание по 6-й задаче на плоскости - 1) Неравенство |z − 1 + i| ≥ √2 задаёт область за пределами или на границе круга с центром в точке (1, −1) и радиусом √2. - 2) 0 < Re z < 1 — вертикальная полоса между прямыми Re z = 0 и Re z = 1 (без границ). - 3) Если задача имеет Re z ≤ 2 (или другое условие по вашей карте), — это полуплоскость слева от линии Re z = 2 (если ≤, включаем границу; если < — без неё). Уточните точное формулировку. - 4) |2z| = |1 + z| эквивалентно кругу Apollonius: после преобразований получается центр (1/3, 0) и радиус 2/3, т.е. окружность, все её точки удовлетворяют равенству. - Параметры 3) и 4) требуют точной формулировки; если вы пришлёте точный текст, я добавлю точное описание области. Если хотите, могу привести все решения в компактной форме, а также нарисовать векторные чертёжки для 6-го блока (последнее место показать графически). Сообщите, какие именно части 3 и 6 вы точно читаете (особенно пункт 2-й и 4-й подпункты в 6-м разделе).