дано: окружность, вписанный треугольник knm, km=kn=16, найти OM

Задача: окружность с вписанным треугольником KNM, KM = KN = 16. Найти OM (радиус окружности).

Как решить:

• Пусть радиус окружности равен R = OM = ON = OK.
• Так как KM = KN, хорды KM и KN равны, значит соответствующие центральные углы равны: ∠KOM = ∠KON = α.
• В треугольнике KMN вершина K — вершина равнолбного треугольника, поэтому угол при K равен α: ∠MKN = α. Центральный угол MON под MN равен MON = 2α (ведь MON — центральный для хорды MN).
• Формулы для хорды:
  • KM = 2R sin(α/2) = 16, значит sin(α/2) = 8/R.
  • MN как хорда для угла MON = 2α: MN = 2R sin(α).
  • Или как база равнобедренного треугольника KMN: MN = 2·KM·sin(α/2) = 32 sin(α/2).

Сопоставим две записи MN: 2R sin(α) = 32 sin(α/2). Используем sin(α) = 2 sin(α/2) cos(α/2): 2R · 2 sin(α/2) cos(α/2) = 32 sin(α/2). Если sin(α/2) ≠ 0, делим и получаем: 4R cos(α/2) = 32 → R cos(α/2) = 8.

С учетом sin(α/2) = 8/R и cos^2(α/2) = 1 − sin^2(α/2): (8/R)^2 + cos^2(α/2) = 1 → cos^2(α/2) = 1 − 64/R^2. Зная R cos(α/2) = 8, можно записать: cos(α/2) = 8/R, sin(α/2) = 8/R, поэтому (8/R)^2 + (8/R)^2 = 1 → 128/R^2 = 1 → R^2 = 128 → R = 8√2.

Итак, OM = R = 8√2.

Проверка (кратко): если α = 90°, то KM = 2R sin(45°) = 2(8√2)(√2/2) = 16, ок. MON = 2α = 180°, значит MN — диаметр, и MN = 2R = 16√2, что согласуется с базой равнобедренного треугольника KMN.