дано окружность, вписанный треугольник knm, km=kn=16 (хорды), угол knm=120. Найти OM (радиус)

Задача: дано окружность с вписанным треугольником K N M. Отрезки KM и KN равны 16, угол KNM = 120°. Найти OM (радиус окружности).

Пошаговое решение

1. Инсридный угол KNM intercepts arc KM.

• По теореме о вписанном угле, угол KNM = 120° равен половине дуги KM, которая не содержит точку N.
• Значит мера этой дуги KM равна 2 × 120° = 240°.
• Центральный угол, соответствующий меньшей дуге KM (минорной дуге KM), равен 360° − 240° = 120°.

2. Связь длины хорды и радиуса.

• Для хорды KM длиной c и центрального угла φ (для минорной дуги) выполняется: c = 2R sin(φ/2).
• Здесь φ = 120°, значит sin(φ/2) = sin(60°) = √3/2.
• Получаем KM = 2R · (√3/2) = R√3.

3. Подстановка известных данных.

• KM = 16, следовательно R√3 = 16 → R = 16/√3 = (16√3)/3.

4. Проверка по KN.

• KN также равно 16, поэтому центральный угол для KN тоже 120° (одинаковая длина хорды в окружности).
• Это согласуется с найденным радиусом: KN = 2R sin(60°) = R√3 = 16.

Ответ

• OM (радиус окружности) = R = 16/√3 ≈ 9.24.