реши это

Задача 2002: Найдите наименьшее значение функции y = x^3 − 3x^2 + 19 на отрезке [1; 3].

Пошаговое решение:

• Обозначим f(x) = x^3 − 3x^2 + 19.
• Найдём производную: f′(x) = 3x^2 − 6x = 3x(x − 2).
• Критические точки: x = 0 и x = 2. В отрезке [1; 3] присутствует только точка x = 2.
• Значения функции в концах отрезка и в критической точке:
  • f(1) = 1 − 3 + 19 = 17
  • f(3) = 27 − 27 + 19 = 19
  • f(2) = 8 − 12 + 19 = 15
• Сравнивая значения, видим, что наименьшее равно 15, достигается при x = 2.
• Дополнительная проверка: f′(x) меняет знак вокруг x = 2, а f′′(2) = 6 > 0, следовательно это локальный минимум, который на данном отрезке является и глобальным минимумом.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке [1; 3] равно 15, достигается при x = 2.