Сгенерируй тест для школьников с учетом следующих параметров: 1. Предмет: Алгебра 2. Тема теста: Производная функции, монотонность, экстремумы 3. Класс учеников: 11 4. Типы вопросов в тесте: Открытый вопрос 5. Количество вопросов: 30 6. Выводить ли тест с ответами: Без ответов

Тест по Алгебре: Производная функции, монотонность, экстремумы Класс: 11 Тип вопросов: Открытый вопрос Количество вопросов: 30 Вывод теста: Без ответов 1) Найдите производную f′(x) для f(x) = x^4 − 4x^3 + 5x^2 − 6x + 1. Определите интервалы возрастания и убывания функции f на всей области определения. 2) Для f(x) = x^3 − 3x^2 − 9x + 6 найдите критические точки и классифицируйте их как максимум или минимум (по первому или второму признаку). 3) Найдите локальные экстремумы функции f(x) = x^5 − 5x^3 + 4x. Укажите координаты точек и природу экстремумов. 4) Определите интервалы возрастания и убывания функции g(x) = (x^2 − 1)/(x − 2). Укажите область определения и аргументируйте при помощи знаков производной. 5) Найдите абсолютный максимум и минимум функции f(x) = −x^2 + 4x на интервале [-1, 5]. Приведите шаги анализа. 6) Определите интервалы возрастания функции f(x) = ln x на (0, ∞). Укажите наличие критических точек и их природу. 7) Найдите критические точки и классифицируйте точки экстремума для f(x) = e^x − x^2. 8) Разберите f(x) = x^2 ln x на (0, ∞): найдите производную, критические точки и интервалы возрастания. 9) Найдите точки локального минимума и максимума для f(x) = x^3 − 3x. 10) Определите интервалы возрастания функции f(x) = √x + x на области x ≥ 0. Укажите точки разрыва производной, если они есть. 11) Найдите критические точки функции f(x) = (x − 3)^3 и опишите монотонность на каждом из промежутков. 12) Найдите критические точки и признаки монотонности для f(x) = x^2/(1 + x^2). Определите наличие максимумов/минимумов и их координаты. 13) Разберите f(x) = x^3/(x − 1) на областях x ≠ 1: найдите производную и определите интервалы монотонности. 14) Определите, возрастает ли функция f(x) = tan x на интервале (−π/2, π/2) и найдите её производную. 15) Определите монотонность функции f(x) = arctan x на всём ℝ и обоснуйте через производную. 16) Определите интервалы возрастания и убывания функции f(x) = |x|. Укажите точку разрыва производной и объясните поведение функции вокруг неё. 17) Найдите критические точки для f(x) = e^x − 2x и классифицируйте их. 18) Разберите f(x) = x^4 − 8x^2 + 5: найдите производную, критические точки и монотонность на соответствующих интервалах. 19) Определите производную и интервалы возрастания/убывания функции f(x) = √(x^2 + 1). Укажите знак производной на всей области определения. 20) Определите критические точки и монотонность функции f(x) = ln(1 + x^2) − x. 21) Определите интервалы возрастания и убывания функции f(x) = sin x на интервале [0, 2π]. 22) Определите знак производной функции f(x) = cos x на интервале [0, π] и сделайте выводы о монотонности. 23) Найдите локальный и глобальный экстремумы функции f(x) = x^2 − 4x на всей области определения. Укажите координаты. 24) Определите, на каких участках функции f(x) = 1/(x^2 + 1) возрастает и убывает. Обоснуйте знаками производной. 25) Найдите критические точки и характер экстремумов для f(x) = x^3 + x^2 − 3x на ℝ. 26) Определите, возрастает ли функция f(x) = log_3(x + 1) + x на своей области определения и найдите критические точки, если они существуют. 27) Разберите f(x) = arcsin(x/2) на [-2, 2]: найдите производную и интервалы возрастания. 28) Найдите производную функции f(x) = x^3/(1 + x^2) и определите интервалы её возрастания/убывания на ℝ. 29) Определите производную и монотонность функции f(x) = (x − 1)^4 на ℝ, и укажите точку экстремума. 30) Найдите экстремумы функции f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x на ℝ; найдите координаты и природу каждого экстремума.