Сколько сторон имеет выпуклый много угольник каждый угол которого равен а) 90; б) 60;

Задача: выпуклый многоугольник, в котором каждый угол равен заданному значению.

Способ 1: через равенство углов многоугольника

• Для любого n-угольника сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°. Если полигон равнобедренно-равноугольный (каждый угол одинаков), то каждый угол A = [(n − 2) · 180°] / n.
• Таким образом, A = (n − 2) · 180 / n.
• Решаем для n.

а) A = 90° ( n − 2 ) · 180 / n = 90 180n − 360 = 90n 90n = 360 n = 4 Ответ: 4 стороны (квадрат).

б) A = 60° ( n − 2 ) · 180 / n = 60 180n − 360 = 60n 120n = 360 n = 3 Ответ: 3 стороны (треугольник).

Способ 2: через внешние углы (иногда проще наглядно)

• В выпуклом правильном многоугольнике сумма внешних углов равна 360°. Каждый внешний угол равен β = 180° − A.
• Тогда n · β = 360°, или n = 360° / (180° − A).

а) A = 90°: β = 90°, n = 360 / 90 = 4. б) A = 60°: β = 120°, n = 360 / 120 = 3.

Итог:

• а) m = 4 стороны (квадрат)
• б) m = 3 стороны (треугольник)