докажи, что параллелограмм является выпуклым четырех угольником

Давай обозначим параллелограмм как ABCD, где AB ∥ CD и BC ∥ AD, точки идут по порядку вдоль границы.

1. Вывод одинаковости углов при противоположных вершинах:

• Угол A образован сторонами DA и AB. Поскольку DA ∥ BC и AB ∥ CD, угол между DA и AB равен углу между BC и CD, то ∠A = ∠C.
• Угол B образован сторонами AB и BC. Поскольку AB ∥ CD и BC ∥ AD, угол между AB и BC равен углу между CD и DA, то ∠B = ∠D.

2. Сумма углов квадрилограма:

• В любом выпуклом или произвольном квадрилограмме сумма внутренних углов равна 360°. Отсюда 2∠A + 2∠B = 360°, следовательно ∠A + ∠B = 180°.

3. Из двух предыдущих пунктов следует, что каждый угол строго меньше 180° (так как ∠A > 0 и ∠B > 0, и ∠A = ∠C, ∠B = ∠D). Значит ∠A, ∠B, ∠C, ∠D все меньше 180°.

Так как все четыре внутренних угла параллелограмма меньше 180°, параллелограмм ABCD является выпуклым четырехугольником.

Дополнение: можно также привести координатное доказательство (например, A=(0,0), B=(1,0), D=(a,b) с b≠0, и C=(1+a,b)); тогда вектора AB и AD не коллинеарны, и все углы получаются строго меньшими 180°, что тоже доказывает выпуктость).