4x / 4x² - 8X + 7 + 3X / 4x² - 10x + 7 = 1
Разберём задачу подробно.
Задача: (4x)/(4x^2 - 8x + 7) + (3x)/(4x^2 - 10x + 7) = 1
Область допустимых значений -denominators должны быть не нулем: A = 4x^2 - 8x + 7 ≠ 0 B = 4x^2 - 10x + 7 ≠ 0
Очистим дроби от знаменателей Умножим обе стороны на AB, где A и B — соответствующие знаменатели: 4x B + 3x A = AB
Раскроем и сведём к многочлену Посчитаем A и B: A = 4x^2 - 8x + 7 B = 4x^2 - 10x + 7
Левая часть: 4x B = 4x(4x^2 - 10x + 7) = 16x^3 - 40x^2 + 28x 3x A = 3x(4x^2 - 8x + 7) = 12x^3 - 24x^2 + 21x Сумма: 4xB + 3xA = 28x^3 - 64x^2 + 49x
Правая часть: AB = (4x^2 - 8x + 7)(4x^2 - 10x + 7) Раскроем: AB = 16x^4 - 72x^3 + 136x^2 - 126x + 49
Поставим в уравнение: AB - (4xB + 3xA) = 0 16x^4 - 72x^3 + 136x^2 - 126x + 49 - (28x^3 - 64x^2 + 49x) = 0
Упростим: 16x^4 - 100x^3 + 200x^2 - 175x + 49 = 0
- Факторизация полинома Заметим, что хотелось бы представить как произведение двух квадратов с общим константным членом 7: (4x^2 - ax + 7)(4x^2 - bx + 7) = 0
Раскроем и приравняем коэффициенты: x^3: -(4a + 4b) = -100 => a + b = 25 x^2: ab + 56 = 200 => ab = 144 x: -(7a + 7b) = -175 => a + b = 25 (совпадает)
Решаем систему для a и b: a + b = 25, ab = 144. Корни t^2 - 25t + 144 = 0 дают t = 9 и t = 16. Значит: 16x^4 -100x^3 + 200x^2 -175x + 49 = (4x^2 - 16x + 7)(4x^2 - 9x + 7)
- Решаем каждое квадратичное уравнение
4x^2 - 16x + 7 = 0 x = [16 ± sqrt(256 - 112)] / 8 = [16 ± sqrt(144)] / 8 = (16 ± 12)/8 Получаем x = 28/8 = 7/2 и x = 4/8 = 1/2
4x^2 - 9x + 7 = 0 Дискриминант: D = (-9)^2 - 4·4·7 = 81 - 112 = -31 < 0 Корни комплексные, вещественных решений нет.
- Проверка по области допустимых значений Наши найденные вещественные корни: x = 1/2 и x = 7/2. Проверяем A и B для этих значений:
- Для x = 1/2: A = 4, B = 3, оба не нули.
- Для x = 7/2: A = 28, B = 21, оба не нули. Значит решения допустимы.
Проверка на подстановке (необязательно, но полезно):
- x = 1/2: (4x)/A = 2/4 = 0.5, (3x)/B = 1.5/3 = 0.5, сумма = 1.
- x = 7/2: (4x)/A = 14/28 = 0.5, (3x)/B = 10.5/21 = 0.5, сумма = 1.
Ответ: Реальные решения уравнения: x = 1/2 и x = 7/2. Вещественные корни второго квадратичного множителя отсутствуют.
