в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины А, равна 6. Найдите длину стороны AC

Задача: в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B = 120°, высота AH из вершины A до стороны BC равна 6. Найдите длину AC.

Решение:

1. Так как основание AC, значит AB = BC. Обозначим длину этих равных сторон через x: AB = BC = x.

2. Введём координаты для удобства. Пусть B = (0, 0), BC лежит вдоль оси x и C = (x, 0). Угол при B равен 120°, значит вектор BA образует с вектором BC угол 120°. Длина AB равна x, поэтому точку A можно взять как: A = (x cos 120°, x sin 120°) = (x · (−1/2), x · (√3/2)) = (−x/2, (√3/2)x).

3. Высота AH к стороне BC — это расстояние от точки A до прямой BC (ось x). Поскольку BC лежит на оси y = 0, высота AH равна Абсолютному значению y-координаты точки A: AH = (√3/2) x. Дано AH = 6, следовательно: (√3/2) x = 6 → x = 12/√3 = 4√3.

4. Найдём AC. Расстояние между A и C: AC = √[(x − (−x/2))^2 + (0 − (√3/2)x)^2] = √[(3x/2)^2 + (√3 x/2)^2] = √[(9x^2/4) + (3x^2/4)] = √[(12x^2/4)] = √(3x^2) = x√3.

5. Подставим x = 4√3: AC = (4√3) · √3 = 4 · 3 = 12.

Ответ: AC = 12.