На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный,DE-основание.Докажите,что:а)если BD=CE,то угол CAD=углу BAE и угол AB=AC; б) если угол CAD=углу BAE, то BD=CE и AB=AC

Задача принята. Пусть в треугольнике ADE DE является основанием равнобедренного треугольника, т.е. AD = AE. Пусть B лежит на стороне AD, C лежит на AE, причём BD и CE — соответствующие отрезки вдоль сторон (то есть B лежит между A и D, а C между A и E). Обозначим середину DE за M. В равнобедренном треугольнике ADE ось симметрии проходит по AM: AM является биссектором угла DAE и перпендикулярно DE, и зеркально отображает сторону AD в AE, D в E и пр. на всякое соответствующее положение точек на AD и AE. Рассмотрим отражение s по оси симметрии AM (s: плоскость — → плоскость, D↔E, A↔A). - Пусть B лежит на AD. Его образ B' = s(B) лежит на AE и так же удовлетворяет AB' = AB, и D отображается в E, поэтому расстояние BD отображается в расстояние B'E. - Заметим, что BD отображается в B'E под действием отражения, то BD = B'E. Теперь докажем обе части. 1) Пусть BD = CE (часть a). - Так как s(D) = E, имеем BD = B'E. По условию BD = CE, значит B'E = CE. - Оба точки B' и C лежат на одной прямой AE, причем расстояние от E до B' равно расстоянию от E до C. Единственная точка на луче AE, на которой расстояние до E равно EC, — это точка C; следовательно, B' coincide с C. То C — отражение B через AM. - Следовательно AB' = AB = AC, то есть AB = AC. - Также отражение через AM переводит AD в AE, а точка B в B', то есть прямые AB и AC образуют пару зеркально симметричных лучей относительно AM. Следовательно угол CAD равен углу BAE. Итак, при BD = CE выполняются AB = AC и ∠CAD = ∠BAE. 2) Пусть ∠CAD = ∠BAE (часть b). - Эти углы равны и мы видим, что луч AC и луч AB — пары isogonal по отношению к углу DAE: они симметричны относительно бисектрисы угла DAE, которой является AM (это следует из того, что AD и AE — стороны угла, а AM — его бисектор в равнобедренном треугольнике ADE). - Значит луч AB отображается в луч AC при симметрии относительно AM. Следовательно C — образ B под отражением через AM, то есть C = s(B). Поэтому AB = AB' = AC и BD = B'E = CE (D↔E под отражением). Итак, при ∠CAD = ∠BAE имеем BD = CE и AB = AC. Вывод: а) BD = CE приводит к ∠CAD = ∠BAE и AB = AC; б) ∠CAD = ∠BAE приводит к BD = CE и AB = AC. Они эквивалентны условиям задачи.