окружность с центром о вписанная в равнобедренный треугольник авс с основанием ас касается стороны вс в точке к причем ск:вк=5:8 . гайти во если площадь авс 540

Разберём задачу пошагово.

Условия:

• Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, боковые стороны AB = BC.
• Вписанная окружность с центром O касается сторону BC в точке K.
• CK:BK = 5:8.
• Площадь треугольника S(ABC) = 540.

Обозначения:

• a = BC, b = CA (основание), c = AB.
• Так как треугольник равнобедренный у вершины B, то a = c.

Известны свойства касательной окружности:

• На стороне BC точки касания делят BC так, что BK = s − b, CK = s − c, где s — полупериметр треугольника.

Пусть CK:BK = (s − c):(s − b) = 5:8. Так как a = c, имеем s − c = s − a. Обозначим s − a = 5t и s − b = 8t (t > 0). Тогда:

• a = s − 5t
• b = s − 8t
• c = a = s − 5t

Сумма сторон даёт периметр: a + b + c = 2s. Подставляя: (s − 5t) + (s − 8t) + (s − 5t) = 2s 3s − 18t = 2s s = 18t.

Следовательно:

• a = s − 5t = 18t − 5t = 13t
• b = s − 8t = 18t − 8t = 10t
• c = a = 13t

Площадь по формуле Герона: S = sqrt[s(s − a)(s − b)(s − c)]. Здесь s − a = 5t, s − b = 8t, s − c = 5t: S = sqrt[18t · 5t · 8t · 5t] = sqrt[3600 t^4] = 60 t^2.

По условию S = 540, значит 60 t^2 = 540 → t^2 = 9 → t = 3.

Итоговые стороны:

• a = BC = 13t = 39
• b = AC = 10t = 30
• c = AB = 13t = 39

Ответы и дополнительно проверки:

• BC = 39 (и AB = 39, AC = 30).
• Высота к основанию AC: h^2 = AB^2 − (AC/2)^2 = 39^2 − 15^2 = 1521 − 225 = 1296 → h = 36.
• Полупериметр s = (39 + 30 + 39)/2 = 54.
• Радиус вписанной окружности r = S / s = 540 / 54 = 10.
• Проверка разбиения BC окружностью: BK = s − b = 54 − 30 = 24, CK = s − c = 54 − 39 = 15, CK:BK = 15:24 = 5:8, как дано.

Итог: при данных условиях BC = 39 (AB = 39, AC = 30); высота к основанию — 36; радиус вписанной окружности — 10.