5x²+1=0

Задача: 5x² + 1 = 0

Так как цель — понять, разберём подробно шаг за шагом. Сначала посмотрим на действительные числа, затем коснёмся комплексных.

1. Решение в действительных числах

• 5x² + 1 = 0
• 5x² = -1
• x² = -1/5
• В действительных числах кубы корня нельзя получить отрицательное число, поэтому у этой дроби отрицательное значение. Следовательно, решений в множестве действительных чисел нет.
• Вывод: нет действительных корней.

2. Если разрешены комплексные числа

• Решение по формуле для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0: a = 5, b = 0, c = 1.
• Дискриминант D = b² - 4ac = 0² - 4·5·1 = -20.
• Корни: x = [-b ± √D] / (2a) = [0 ± √(-20)] / 10 = ± (√20 · i) / 10 = ± (2√5 i) / 10 = ± (√5 i) / 5.
• Это можно записать как x = ± i/√5 или, рационализовав знаменатель, x = ± i√5/5.

Проверка (для любого из комплексных корней): подставим x² = -1/5.

• 5x² + 1 = 5(-1/5) + 1 = -1 + 1 = 0, что подтверждает корректность.

Итого:

• В действительных числах: решений нет.
• В комплексных числах: x = ± i/√5 = ± i√5/5.