Найди точки экстремума функции y=2x²-20x+1

Дано: y = 2x^2 - 20x + 1 Цель: найти точки экстремума (для параболы это будет вершина). Шаги решения (несколько способов): 1) Через вершину параболы - Парабола задана в виде y = ax^2 + bx + c с a = 2, b = -20, c = 1. - Координата x вершины: x_v = -b/(2a) = -(-20) / (2·2) = 20/4 = 5. - Значение функции в этой точке: y_v = y(5) = 2·25 - 20·5 + 1 = 50 - 100 + 1 = -49. - Так как a > 0, парабола открывается вверх, следовательно вершина является точкой минимума. Итак: экстремум — минимум, точка (5, -49). 2) Через квадрат Completing the Square (наглядно увидеть форму) - y = 2x^2 - 20x + 1 = 2(x^2 - 10x) + 1 - Приведём квадрат: x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25 - Тогда y = 2[(x - 5)^2 - 25] + 1 = 2(x - 5)^2 - 50 + 1 = 2(x - 5)^2 - 49 - Видим, что минимум достигается при x = 5 и имеет значение y = -49. 3) Альтернатива через производную - y' = 4x - 20 - Приравниваем к нулю: 4x - 20 = 0 → x = 5 - Второй производной: y'' = 4 > 0, значит это минимум. - Значение: y(5) = -49 (как выше). Ответ: - Тип экстремума: минимум. - Точка экстремума: (5, -49).