найди точки экстремума функции y=2x²-20x+1

Дано: y = 2x^2 - 20x + 1

Цель: найти точки экстремума (для параболы это будет вершина).

Шаги решения (несколько способов):

1. Через вершину параболы

• Парабола задана в виде y = ax^2 + bx + c с a = 2, b = -20, c = 1.
• Координата x вершины: x_v = -b/(2a) = -(-20) / (2·2) = 20/4 = 5.
• Значение функции в этой точке: y_v = y(5) = 2·25 - 20·5 + 1 = 50 - 100 + 1 = -49.
• Так как a > 0, парабола открывается вверх, следовательно вершина является точкой минимума.

Итак: экстремум — минимум, точка (5, -49).

2. Через квадрат Completing the Square (наглядно увидеть форму)

• y = 2x^2 - 20x + 1 = 2(x^2 - 10x) + 1
• Приведём квадрат: x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25
• Тогда y = 2[(x - 5)^2 - 25] + 1 = 2(x - 5)^2 - 50 + 1 = 2(x - 5)^2 - 49
• Видим, что минимум достигается при x = 5 и имеет значение y = -49.

3. Альтернатива через производную

• y' = 4x - 20
• Приравниваем к нулю: 4x - 20 = 0 → x = 5
• Второй производной: y'' = 4 > 0, значит это минимум.
• Значение: y(5) = -49 (как выше).

Ответ:

• Тип экстремума: минимум.
• Точка экстремума: (5, -49).