точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K…

Решение будем делать с помощью координатного варианта.

1. Установим систему координат

• Пусть B = (0, 0).
• Пусть AB лежит по оси x, BC по оси y. Тогда A = (a, 0), C = (0, c) с a > 0, c > 0.
• Прямой угол в B выполняется как требуется.

2. Точка H — основание высоты BH к AC

• BH — высота из вершины B к гипотенузе AC, следовательно H — проекция точки B на прямую AC.
• Обозначим H как (hx, hy). Точные значения hx, hy зависят от a и c, но нам пока это не принципиально: мы будем использовать свойства окружности с диаметром BH.

3. Окружность с диаметром BH

• Диаметр BH задаёт центр окружности как середину отрезка BH: центр M = (hx/2, hy/2).
• Радиус равен BH/2, и BH имеет длину sqrt(hx^2 + hy^2).

4. Пересечения окружности с AB и BC

• AB — это ось x, т.е. y = 0. Подставим в уравнение окружности: (x - hx/2)^2 + (0 - hy/2)^2 = (hx^2 + hy^2)/4. Тогда (x - hx/2)^2 = hx^2/4, что даёт x = 0 или x = hx. Значит P = (hx, 0) (второе пересечение помимо B).

• BC — это ось y, т.е. x = 0. Подставим: (0 - hx/2)^2 + (y - hy/2)^2 = (hx^2 + hy^2)/4. Тогда (y - hy/2)^2 = hy^2/4, что даёт y = 0 или y = hy. Значит K = (0, hy) (второе пересечение помимо B).

5. Расстояние PK

• Координаты P и K: P = (hx, 0), K = (0, hy).
• Расстояние PK равно sqrt(hx^2 + hy^2) = BH.

Итак, PK = BH независимо от конкретных a и c.

6. По условию PK = 14

• Следовательно BH = 14.

Ответ: BH = 14.