Sin 3a + sin a/cos 3a + cos a = tg2a

Задача: показать, что (sin 3a + sin a) / (cos 3a + cos a) = tan 2a. Пошаговое решение 1) Область определения - Чтобы деление было корректно, знаменатель не должен равняться нулю: cos 3a + cos a ≠ 0. - По формуле cos 3a + cos a = 2 cos 2a cos a, это условие эквивалентно: cos a ≠ 0 и cos 2a ≠ 0. - Правая сторона tan 2a тоже определена только там, где cos 2a ≠ 0. Таким образом, идёт равенство на общей области определения. 2) Применим формулы приведения сумм - sin X + sin Y = 2 sin((X+Y)/2) cos((X-Y)/2) - cos X + cos Y = 2 cos((X+Y)/2) cos((X-Y)/2) 3) Подставим X = 3a, Y = a - числитель: sin 3a + sin a = 2 sin((3a + a)/2) cos((3a − a)/2) = 2 sin(2a) cos(a) - знаменатель: cos 3a + cos a = 2 cos((3a + a)/2) cos((3a − a)/2) = 2 cos(2a) cos(a) 4) Сократим - (sin 3a + sin a) / (cos 3a + cos a) = [2 sin(2a) cos(a)] / [2 cos(2a) cos(a)] - при cos a ≠ 0 можем сократить cos(a): = sin(2a) / cos(2a) = tan(2a) 5) Заключение - Таким образом, для тех значений a, при которых обе стороны определены, выполняется тождество: (sin 3a + sin a) / (cos 3a + cos a) = tan 2a. Примечание: Если cos a = 0, левая часть не определена (знаменатель обнуляется), и соответственно равенство там не применяется. Если cos 2a = 0, правая сторона тоже не определена, и равенство в этой точке не требуется.