sin 3a + sin a/cos 3a + cos a = tg2a

Задача: показать, что (sin 3a + sin a) / (cos 3a + cos a) = tan 2a.

Пошаговое решение

1. Область определения

• Чтобы деление было корректно, знаменатель не должен равняться нулю: cos 3a + cos a ≠ 0.
• По формуле cos 3a + cos a = 2 cos 2a cos a, это условие эквивалентно: cos a ≠ 0 и cos 2a ≠ 0.
• Правая сторона tan 2a тоже определена только там, где cos 2a ≠ 0. Таким образом, идёт равенство на общей области определения.

2. Применим формулы приведения сумм

• sin X + sin Y = 2 sin((X+Y)/2) cos((X-Y)/2)
• cos X + cos Y = 2 cos((X+Y)/2) cos((X-Y)/2)

3. Подставим X = 3a, Y = a

• числитель: sin 3a + sin a = 2 sin((3a + a)/2) cos((3a − a)/2) = 2 sin(2a) cos(a)
• знаменатель: cos 3a + cos a = 2 cos((3a + a)/2) cos((3a − a)/2) = 2 cos(2a) cos(a)

4. Сократим

• (sin 3a + sin a) / (cos 3a + cos a) = [2 sin(2a) cos(a)] / [2 cos(2a) cos(a)]
• при cos a ≠ 0 можем сократить cos(a): = sin(2a) / cos(2a) = tan(2a)

5. Заключение

• Таким образом, для тех значений a, при которых обе стороны определены, выполняется тождество: (sin 3a + sin a) / (cos 3a + cos a) = tan 2a.

Примечание: Если cos a = 0, левая часть не определена (знаменатель обнуляется), и соответственно равенство там не применяется. Если cos 2a = 0, правая сторона тоже не определена, и равенство в этой точке не требуется.