Прислать задание в виде фото

Здорово! Ниже подробные решения для каждой части задания с использованием метода математической индукции. Цель — понять принцип индукции и как переходить от n к n+1.

1. a) Сумма 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

• База (n = 1): левая часть = 1. Правая часть = 1(1+1)/2 = 1. Тождество верно.
• Переход (индуктивное предположение): предположим, что для некоторого k верно S_k = 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2.
• Шаг к k+1: S_{k+1} = S_k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2.
• Следовательно, S_{k+1} = (k+1)(k+2)/2, т.е. формула верна и для n = k+1. По induction-обоснованию, для всех n ≥ 1: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.

2. б) Сумма k(k+1) по k = 1..n равна n(n+1)(n+2)/3

• База (n = 1): левая часть = 1·2 = 2. Правая часть = 1·2·3/3 = 2. Верно.
• Индуктивное предположение: Пусть для некоторого n верно ∑_{k=1}^n k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3.
• Шаг к n+1: ∑{k=1}^{n+1} k(k+1) = [∑{k=1}^n k(k+1)] + (n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2) [n/3 + 1] = (n+1)(n+2)(n+3)/3.
• Значит, формула верна и для n+1. По индукции она верна для всех n≥1: ∑_{k=1}^n k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3.

3. в) Сумма k(3k+1) по k = 1..n равна n(n+1)^2

• База (n = 1): левая часть = 1·(3·1+1) = 4. Правая часть = 1·(1+1)^2 = 4. Верно.
• Индуктивное предположение: пусть для n верно ∑_{k=1}^n k(3k+1) = n(n+1)^2.
• Шаг к n+1: ∑{k=1}^{n+1} k(3k+1) = [∑{k=1}^n k(3k+1)] + (n+1)[3(n+1)+1] = n(n+1)^2 + (n+1)(3n+4) = (n+1)[n(n+1) + 3n + 4] = (n+1)(n^2 + n + 3n + 4) = (n+1)(n^2 + 4n + 4) = (n+1)(n+2)^2.
• Это совпадает с формулой для n+1: (n+1)(n+2)^2. Значит, утверждение верно для всех n≥1.

4. г) Сумма кубов 1^3 + 2^3 + ... + n^3 равна (1 + 2 + ... + n)^2

• База (n = 1): левая часть = 1^3 = 1. Правая часть = (1)^2 = 1. Верно.
• Индуктивное предположение: предположим, что ∑_{k=1}^n k^3 = [n(n+1)/2]^2.
• Шаг к n+1: ∑{k=1}^{n+1} k^3 = [∑{k=1}^n k^3] + (n+1)^3 = [n(n+1)/2]^2 + (n+1)^3 = (n+1)^2 [n^2/4 + (n+1)] = (n+1)^2 [ (n^2 + 4n + 4) / 4 ] = [ (n+1)(n+2) / 2 ]^2.
• Таким образом, формула верна для n+1. По индукции для всех n≥1: ∑_{k=1}^n k^3 = [n(n+1)/2]^2.

5. д) Геометрическая прогрессия: 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^{n-1} = 2^n - 1

• База (n = 1): левая часть = 1. Правая часть = 2^1 - 1 = 1. Верно.
• Индуктивное предположение: пусть ∑_{k=0}^{n-1} 2^k = 2^n - 1.
• Шаг к n+1: ∑{k=0}^{n} 2^k = [∑{k=0}^{n-1} 2^k] + 2^n = (2^n - 1) + 2^n = 2^{n+1} - 1.
• Значит, формула верна и для n+1. По индукции верна для всех n ≥ 1.

Если хочешь, могу привести более компактную запись для каждого шага или разобрать конкретный этап подробнее. Также могу проверить другие варианты доказательств (без индукции) для сравнения.