3х²-7х-6<0

Задача: 3x^2 - 7x - 6 < 0

Детальное решение

1. Решение равенства для понять границы интервалов

• Можно расписать как факторизацию: 3x^2 - 7x - 6 = (3x + 2)(x - 3). Это даёт нули: x = -2/3 и x = 3.

2. Анализ знаков

• Поскольку множители имеют вид (3x+2)(x-3), знак произведения меняется на границах -2/3 и 3.
• Разделим числовую ось на три интервала: a) (-∞, -2/3) b) (-2/3, 3) c) (3, ∞)

3. Проверка знака на каждом интервале

• Возьмём простые тестовые точки:
  • Для x = -1: (3(-1)+2) = -1 (отрицательно), (-1-3) = -4 (отрицательно) → произведение положительное.
  • Для x = 0: (3·0+2) = 2 (положительно), (0-3) = -3 (отрицательно) → произведение отрицательное.
  • Для x = 4: (3·4+2) = 14 (положительно), (4-3) = 1 (положительно) → произведение положительное.
• Таким образом, знак произведения:
  • на (-∞, -2/3) положителен,
  • на (-2/3, 3) отрицателен,
  • на (3, ∞) положителен.

4. Вывод

• Неравенство 3x^2 - 7x - 6 < 0 выполняется на интервале (-2/3, 3).
• Так как неравенство строгие (< 0), концы не включаются: x ∈ (-2/3, 3).

Дополнительная проверка (по желанию)

• Можно проверить конкретные значения: x = 0 → 3·0^2 - 7·0 - 6 = -6 < 0, что подтверждает правильность интервала.

Итоговый ответ: x ∈ (-2/3, 3).