(x-y²):x²-y²-1

Интерпретация задачи: речь идёт о дроби (x − y^2) / (x^2 − y^2 − 1). Нужно понять, можно ли её упростить или сократить дробь.

Пошаговое решение

1. Проверка возможности сокращения

• Числитель: x − y^2 — линейный по x.
• Знаменатель: x^2 − y^2 − 1 — квадратный по x.
• Чтобы можно было сократить, знаменатель должен иметь делитель вида (x − y^2) или общий множитель с числителем во многочленном виде.
• Выполняем деление знаменателя по переменной x на (x − y^2):

Деление x^2 − y^2 − 1 на (x − y^2) в переменной x:

• Частное на первом шаге: x. x*(x − y^2) = x^2 − x y^2. Остаток: (x^2 − y^2 − 1) − (x^2 − x y^2) = x y^2 − y^2 − 1.
• Следующий член частного: y^2. y^2*(x − y^2) = x y^2 − y^4. Остаток: (x y^2 − y^2 − 1) − (x y^2 − y^4) = y^4 − y^2 − 1.

Итак, знаменатель делится на (x − y^2) частично на x с остатком, который не исчезает: частное равно x + y^2, остаток — y^4 − y^2 − 1. Вывод: дробь не сокращается, потому что знаменатель не имеет полного множителя (x − y^2) без остатка. Дробь уже существует в простейшем виде.

2. Область определения

• Дробь определена тогда, когда знаменатель не равен нулю: x^2 − y^2 − 1 ≠ 0.
• То есть пары (x, y) такие, что x^2 = y^2 + 1 исключаются из области.

3. Небольшая дополнительная заметка (для углубления понимания)

• Если рассмотреть специальный случай, когда y удовлетворяет уравнению y^4 − y^2 − 1 = 0, тогда x^2 − y^2 − 1 = (x − y^2)(x + y^2). В таком случае дробь формально может быть частично упрощена к 1/(x + y^2) для значений x, отличных от ±y^2, но это касается особых значений y и выходит за рамки обычного упрощения дроби в общем виде.

4. Примеры по желанию

• Пусть y = 0: дробь становится x / (x^2 − 1). Дальше упрощать нельзя.
• Пусть y = 1: дробь (x − 1) / (x^2 − 2). Также без сокращения.
• Пусть x = 2, y = 0: значение 2 / (4 − 1) = 2/3.

Вывод

• Дробь (x − y^2) / (x^2 − y^2 − 1) не сокращается в общем виде.
• Область определения: все пары (x, y) кроме тех, при которых x^2 − y^2 − 1 = 0.
• Это и завершённое решение в рамках средней школы: понятие сокращения отсутствует, дробь записана в простейшем виде.