Як виконати завдання?

Оскільки задача ставить довести нерівності для довільних дійсних значень змінних, розглянемо кожну з них окремо. 1) m^2 + n^2 ≥ 2mn - Перепишемо через квадрат різниці: m^2 + n^2 - 2mn = (m - n)^2 ≥ 0. - Отже, m^2 + n^2 ≥ 2mn для будь-яких дійсних m, n. - Рівність відбувається, коли m = n. 2) t(t + 2) ≥ -1 - Розпишемо: t^2 + 2t ≥ -1 → t^2 + 2t + 1 ≥ 0 → (t + 1)^2 ≥ 0. - Це завжди справедливо для будь-якого дійсного t. - Рівність при t = -1. 3) c(c - d) ≥ -cd - Розкриємо: c^2 - cd ≥ -cd → додамо cd обох частин: c^2 ≥ 0. - Завжди істинно для будь-яких дійсних c, d. - Рівність при c = 0. 4) p^2 - 11p + 36 ≥ p - Перенесемо все в одну сторону: p^2 - 11p + 36 - p ≥ 0 → p^2 - 12p + 36 ≥ 0. - Це (p - 6)^2 ≥ 0, тобто нерівність справедлива для будь-якого p. - Рівність при p = 6. Висновок: - Усі чотири нерівності діють для будь-яких дійсних значень відповідних змінних. - Точні точки рівності: m = n; t = -1; c = 0; p = 6.