Як виконати завдання?

Оскільки задача ставить довести нерівності для довільних дійсних значень змінних, розглянемо кожну з них окремо.

1. m^2 + n^2 ≥ 2mn

• Перепишемо через квадрат різниці: m^2 + n^2 - 2mn = (m - n)^2 ≥ 0.
• Отже, m^2 + n^2 ≥ 2mn для будь-яких дійсних m, n.
• Рівність відбувається, коли m = n.

2. t(t + 2) ≥ -1

• Розпишемо: t^2 + 2t ≥ -1 → t^2 + 2t + 1 ≥ 0 → (t + 1)^2 ≥ 0.
• Це завжди справедливо для будь-якого дійсного t.
• Рівність при t = -1.

3. c(c - d) ≥ -cd

• Розкриємо: c^2 - cd ≥ -cd → додамо cd обох частин: c^2 ≥ 0.
• Завжди істинно для будь-яких дійсних c, d.
• Рівність при c = 0.

4. p^2 - 11p + 36 ≥ p

• Перенесемо все в одну сторону: p^2 - 11p + 36 - p ≥ 0 → p^2 - 12p + 36 ≥ 0.
• Це (p - 6)^2 ≥ 0, тобто нерівність справедлива для будь-якого p.
• Рівність при p = 6.

Висновок:

• Усі чотири нерівності діють для будь-яких дійсних значень відповідних змінних.
• Точні точки рівності: m = n; t = -1; c = 0; p = 6.