Определите угол между двумя векторами a и b (a = b), если модуль вектора их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а.

Решение будем считать при условии равенства модулей векторов: |a| = |b| = r (r ≥ 0). Обозначим угол между ними как θ. Тогда

|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cosθ = r^2 + r^2 + 2r^2 cosθ = 2r^2(1 + cosθ).

Из этого выражения найдем cosθ для каждой заданной величины |a + b|.

а) |a + b| = 0 0^2 = 2r^2(1 + cosθ) → 1 + cosθ = 0 → cosθ = -1 → θ = 180° (π rad), при r > 0. (Если r = 0, вектора нулевые, угол не определён.)

б) |a + b| = 2|a| = 2r (2r)^2 = 4r^2 = 2r^2(1 + cosθ) → 4 = 2(1 + cosθ) → 1 + cosθ = 2 → cosθ = 1 → θ = 0°.

в) |a + b| = |a| = r r^2 = 2r^2(1 + cosθ) → 1 = 2(1 + cosθ) → 1/2 = 1 + cosθ → cosθ = -1/2 → θ = 120°.

Итого, при равных модулях векторов (|a| = |b|):

• а) угол θ = 180°,
• б) угол θ = 0°,
• в) угол θ = 120°.

Замечание по исходной формулировке (пояснение к возможной трактовке «a = b»):

• Если иметь в виду, что вектора a и b совпадают (а = b как сами векторы), то угол между ними всегда θ = 0°, и |a + b| = |2a| = 2|a|. Тогда пункт (б) совместим, а пункты (а) и (в) противоречат ненулевым векторам. Только в случае нулевых векторов r = 0 все три условия могут быть формально выполнены, но угол не определён.