Решите квадратное уравнение: 5х²+8х-4=0

Решение дано по шагам с пояснениями (для цели “Понять”).

Уравнение: 5x^2 + 8x - 4 = 0 Коэффициенты: a = 5, b = 8, c = -4

Метод 1. По формуле квадратного уравнения (дискриминант)

1. Вычислим дискриминант: Δ = b^2 - 4ac = 8^2 - 4·5·(-4) = 64 + 80 = 144
2. Корни уравнения: x1,2 = (-b ± sqrt(Δ)) / (2a) = (-8 ± 12) / 10
3. Вычислим оба корня:
   • x1 = (-8 + 12) / 10 = 4 / 10 = 2/5
   • x2 = (-8 - 12) / 10 = -20 / 10 = -2

Проверка:

• Для x = 2/5: 5(2/5)^2 + 8(2/5) - 4 = 5·4/25 + 16/5 - 4 = 4/5 + 16/5 - 4 = 20/5 - 4 = 0
• Для x = -2: 5(-2)^2 + 8(-2) - 4 = 5·4 - 16 - 4 = 20 - 20 = 0

Ответ: x = 2/5 или x = -2

Метод 2 (резервный): Completing the square

1. 5x^2 + 8x - 4 = 0 Перепишем как 5x^2 + 8x = 4
2. Выделим квадрат: 5[x^2 + (8/5)x] = 4 Дополнение квадрата: x^2 + (8/5)x + (4/5)^2 = (x + 4/5)^2 Добавим и вычтем нужное внутри скобок: 5[(x + 4/5)^2 - (4/5)^2] = 4 5(x + 4/5)^2 - 5·(16/25) = 4 5(x + 4/5)^2 - 16/5 = 4 5(x + 4/5)^2 = 4 + 16/5 = 36/5 (x + 4/5)^2 = 36/25
3. Корни: x + 4/5 = ± 6/5 → x = -4/5 ± 6/5
   • x = (-4 + 6)/5 = 2/5
   • x = (-4 - 6)/5 = -2

Оба метода дают те же корни: x = 2/5 и x = -2.