U(x)=5x2-x3

Задача дана как функция u(x) = 5x^2 - x^3. Ниже — подробное разобрание свойств функции и типичных задач, которые к ней часто относятся. 1) Приведение к удобной форме - u(x) = 5x^2 - x^3 = x^2(5 - x) - Это помогает увидеть корни и поведение near оси x. 2) Корни и пересечения с осями - Нули: x^2(5 - x) = 0 → x = 0 (повторный корень), x = 5. - Точки пересечения с осью y: u(0) = 0, следовательно точка (0,0). - Точки пересечения с осью x: также (0,0) и (5,0). Так как у x = 0 кратность 2, функция касается оси x в этой точке и не пересекает её там. 3) Производная, критические точки и характер экстремумов - Производная: u'(x) = d/dx(5x^2 - x^3) = 10x - 3x^2 = x(10 - 3x). - Критические точки: при u'(x) = 0 получаем x = 0 или x = 10/3. - Вторая производная: u''(x) = d/dx(10x - 3x^2) = 10 - 6x. - Классификация: - x = 0: u''(0) = 10 > 0 → локальный минимум. Значение: u(0) = 0. - x = 10/3: u''(10/3) = 10 - 6*(10/3) = 10 - 20 = -10 < 0 → локальный максимум. Значение: u(10/3) = 5*(10/3)^2 - (10/3)^3 = 5*(100/9) - 1000/27 = 500/9 - 1000/27 = (1500 - 1000)/27 = 500/27 ≈ 18.5185. 4) Монотонность - Анализ знака производной u'(x) = x(10 - 3x): - (-∞, 0): x < 0 и (10 - 3x) > 0 → продукт < 0 → функция убывает. - (0, 10/3): x > 0 и (10 - 3x) > 0 → продукт > 0 → функция возрастает. - (10/3, ∞): x > 0 и (10 - 3x) < 0 → продукт < 0 → функция убывает. - Значит: убывает на (-∞, 0), возрастает на (0, 10/3), убывает на (10/3, ∞). 5) Граничные поведения и область определения - Область определения: все вещественные числа (R). - Граничные случаи: - При x → -∞: доминирует -x^3, следовательно u(x) → +∞. - При x → +∞: доминирует -x^3, следовательно u(x) → -∞. - Следовательно, глобального максимума или минимума нет, но есть локальный максимум при x = 10/3 и локальный минимум при x = 0. 6) Значения и часть графика (кратко) - Значения в ключевых точках: - u(0) = 0 - u(10/3) = 500/27 ≈ 18.5185 - u(5) = 5*25 - 125 = 125 - 125 = 0 (корень с множителем 5 - x, x=5 даёт нулевой корень). - Форма графика: кубическая функция с ведущим членом -x^3, поэтому слева график идёт на +∞, справа — на -∞. График касается оси x в начале (из-за кратности 2 при x=0) и пересекается в x=5. 7) Дополнительные полезные формулы - Интеграл: ∫u(x) dx = ∫(5x^2 - x^3) dx = (5/3)x^3 - (1/4)x^4 + C. - Разложение на множители: u(x) = x^2(5 - x). Если вам нужно именно решение какой-то конкретной задачи по этой функции (например, найти глобальные экстремумы, построить график, найти площадь под кривой на заданном отрезке, или найти интеграл/пределы), скажите, и я дам целостное решение именно под вашу задачу.