3x³+x²+18x-6=0

Задача: 3x^3 + x^2 + 18x − 6 = 0 Пошаговое решение с пояснениями. 1) Проверка рациональных корней - По теореме рациональных корней возможны делители свободного члена (-6) на делители ведущего коэффициента (3): ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/3, ±2/3. - Подставим в полином: - f(1) = 3 + 1 + 18 − 6 = 16 - f(−1) = −3 + 1 − 18 − 6 = −26 - f(2) = 24 + 4 + 36 − 6 = 58 - f(−2) = −24 + 4 − 36 − 6 = −62 - f(1/3) = 2/9 ≈ 0,222… (не равно нулю) - и т.д. - Ни один из рациональных кандидатов не даёт нулевого значения. Значит рационального корня нет (или его нет среди простых кандидатов). 2) Характер корней и общая идея - Производная f'(x) = 9x^2 + 2x + 18 имеет отрицательную дискриминанту: D = 2^2 − 4·9·18 = 4 − 648 < 0. Значит f'(x) > 0 для всех x (многочлен возрастает всюду). - Это значит: у уравнения есть ровно один действительный корень; два остальных корня комплексно сопряжённы. 3) Поиск действительного корня (Кардано) Чтобы получить аналитическое решение, приведём уравнение к редуцированному виду (карданово разложение). - Приведём x = y − b/(3a), где a = 3, b = 1. b/(3a) = 1/9. Значит x = y − 1/9, и уравнение переходит в депрессированное кубическое y^3 + p y + q = 0. - Вычислим параметры: p = (3ac − b^2) / (3a^2) = (3·3·18 − 1^2) / (3·9) = (162 − 1) / 27 = 161/27 ≈ 5.96296296 q = (2b^3 − 9ab c + 27 a^2 d) / (27 a^3) = (2·1 − 9·3·1·18 + 27·9·(−6)) / (27·27) = (2 − 486 − 1458) / 729 = −1942/729 ≈ −2.663923 - Дискриминант для депрессированного кубического: Δ = (q/2)^2 + (p/3)^3. (q/2) ≈ −1.3319615, (q/2)^2 ≈ 1.774 (p/3) = (161/27)/3 = 161/81 ≈ 1.9876543, (p/3)^3 ≈ 7.8528 Δ ≈ 1.774 + 7.8528 ≈ 9.6268 > 0 - По формуле Кардано только один действительный корень: y = cubert(−q/2 + sqrt(Δ)) + cubert(−q/2 − sqrt(Δ)) x = y − b/(3a) = y − 1/9 - Численно это даёт действительный корень x ≈ 0.322008. Итак, действительный корень: - x1 ≈ 0.32201 4) Остальные (комплексные) корни После нахождения действительного корня можно поделить многочлен на (x − x1) и получить квадратную факторо-часть: 3x^3 + x^2 + 18x − 6 = (x − x1)(3x^2 + p x + q), где p ≈ 1.966024 и q ≈ 18.633077 (получено разложением по синтетическому делению с x1 ≈ 0.322008). Решаем квадратное уравнение: 3x^2 + 1.966024 x + 18.633077 = 0 Дискриминант: Δq = (1.966024)^2 − 4·3·18.633077 ≈ 3.8653 − 223.5969 ≈ −219.7317 Корни квадрата: x2,3 = [−1.966024 ± i√(219.7317)] / 6 Приближённо: - x2 ≈ −0.3277 + 2.4711 i - x3 ≈ −0.3277 − 2.4711 i Итого корни кубического уравнения 3x^3 + x^2 + 18x − 6 = 0: - действительный корень: x1 ≈ 0.32201 - комплексно сопряжённые корни: x2 ≈ −0.3277 + 2.4711 i, x3 ≈ −0.3277 − 2.4711 i 5) Быстрое подтверждение (проверка) - Подстановка x ≈ 0.32201 в f(x) даёт примерно 0 (ошибка порядка 10^−6…10^−5), что согласуется с точностью вычислений. - Остальные два корня дают ноль при квадратном множителе, давая полный распад полинома на (x − 0.32201)(3x^2 + 1.966024x + 18.633077). Дополнительные заметки - Так как f'(x) > 0 во всей области, ровно один вещественный корень. Остальные корни — комплексные. - Можно получить точное выражение корней через формулы Кардано, но в школьной практике степени точности достаточно указать численные значения. Если хотите, могу привести аккуратную запись решения через Cardano с выводом точной формулы и затем привести расчёты до нужной точности, или сделать пошаговую проверку на вашем примере.