реши неравенство , используя график квадратичной функций и метод интервалов пример: х^+6х-16<0

Задача: решить неравенство x^2 + 6x - 16 < 0 с использованием графика квадратичной функции и метода интервалов.

Пошаговое решение

1. Найдем корни квадратичной функции f(x) = x^2 + 6x - 16, т. е. решим уравнение f(x) = 0:

• Дискриминант D = 6^2 - 4·1·(-16) = 36 + 64 = 100
• Корни: x = (-6 ± √100)/2 = (-6 ± 10)/2 → x1 = -8, x2 = 2

2. График функции

• Парабола f(x) = x^2 + 6x - 16 открывается вверх (a = 1 > 0).
• Точки пересечения с осью x: (-8, 0) и (2, 0).
• Вершина параболы в x = -b/(2a) = -6/2 = -3, значение f(-3) = -25 (минимум параболы).

3. Метод интервалов (разбиение по корням) Разделим ось x на интервалы: (-∞, -8), (-8, 2), (2, ∞). Проверим знак f(x) в каждом интервале:

• Пусть x = -9: f(-9) = 81 - 54 - 16 = 11 > 0
• Пусть x = 0: f(0) = -16 < 0
• Пусть x = 3: f(3) = 9 + 18 - 16 = 11 > 0

4. Выбор интервалов по знаку Неравенство f(x) < 0 выполняется там, где функция отрицательна, то есть на интервале (-8, 2).

Ответ -8 < x < 2

Примечание: если бы было не строгое неравенство (≤ 0), то включили бы точки корней: x ∈ [-8, 2].