9^x - 4 × 3^x + 3 = 0

Задача: 9^x - 4 · 3^x + 3 = 0

Решение (пошагово, понятно для 11 класса):

1. Приведем 9^x к виду (3^x)^2: 9^x = (3^2)^x = 3^{2x}.

2. Сделаем замену: t = 3^x. Поскольку 3^x > 0 для любых действительных x, получаем тождественно действительное t > 0. Тогда уравнение становится квадратным по t: t^2 - 4t + 3 = 0.

3. Найдем корни квадратного уравнения. Факторизация: t^2 - 4t + 3 = (t - 1)(t - 3) = 0. Значит, t = 1 или t = 3.

4. Вернемся к x:

   • Если 3^x = 1, то x = 0.
   • Если 3^x = 3, то x = 1 (так как 3^1 = 3).

5. Проверка:

   • Для x = 0: 9^0 - 4·3^0 + 3 = 1 - 4·1 + 3 = 0.
   • Для x = 1: 9^1 - 4·3^1 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0. Оба корня верны.

Ответ: x = 0 или x = 1.

Дополнительное замечание (альтернативный подход): можно применить формулу дискриминанта к уравнению t^2 - 4t + 3 = 0, найдя те же корни t = 1 и t = 3, и затем перейти к x через 3^x = t. Это даёт те же решения.