{3xy=1 {6x+y=3

Задача: решить систему

• 3xy = 1
• 6x + y = 3

Цель: понять решение подробно.

Пошаговое решение

1. Из первой дроби 3xy = 1 выразим y через x (при этом x ≠ 0): y = 1/(3x).

2. Подставим это в вторую уравнение: 6x + y = 3 6x + 1/(3x) = 3.

3. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на 3x (x ≠ 0): 18x^2 + 1 = 9x.

4. Перенесём все в одну сторону: 18x^2 − 9x + 1 = 0.

5. Решим квадратное уравнение по дискриминанту: D = (-9)^2 − 4·18·1 = 81 − 72 = 9. Корни: x = [9 ± √9] / (2·18) = [9 ± 3] / 36.

   Значит,

   • x1 = (9 + 3)/36 = 12/36 = 1/3
   • x2 = (9 − 3)/36 = 6/36 = 1/6

6. Найдём y для каждого x из второго уравнения 6x + y = 3 (или из y = 1/(3x)):

   • При x = 1/3: y = 3 − 6·(1/3) = 3 − 2 = 1.
   • При x = 1/6: y = 3 − 6·(1/6) = 3 − 1 = 2.

7. Проверим обратно в первом уравнении 3xy = 1:

   • Для (x, y) = (1/3, 1): 3·(1/3)·1 = 1 ✓
   • Для (x, y) = (1/6, 2): 3·(1/6)·2 = 1 ✓

Итог

Система имеет два действительных решения:

• (x, y) = (1/3, 1)
• (x, y) = (1/6, 2)

Дополнительное замечание (как можно было получить тот же результат и по-другому): Из второй уравнения y = 3 − 6x, подставим в первую: 3x(3 − 6x) = 1 → 9x − 18x^2 = 1 → 18x^2 − 9x + 1 = 0, те же корни.