{3xy=1 {6x+y=3

Задача: решить систему - 3xy = 1 - 6x + y = 3 Цель: понять решение подробно. Пошаговое решение 1) Из первой дроби 3xy = 1 выразим y через x (при этом x ≠ 0): y = 1/(3x). 2) Подставим это в вторую уравнение: 6x + y = 3 6x + 1/(3x) = 3. 3) Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на 3x (x ≠ 0): 18x^2 + 1 = 9x. 4) Перенесём все в одну сторону: 18x^2 − 9x + 1 = 0. 5) Решим квадратное уравнение по дискриминанту: D = (-9)^2 − 4·18·1 = 81 − 72 = 9. Корни: x = [9 ± √9] / (2·18) = [9 ± 3] / 36. Значит, - x1 = (9 + 3)/36 = 12/36 = 1/3 - x2 = (9 − 3)/36 = 6/36 = 1/6 6) Найдём y для каждого x из второго уравнения 6x + y = 3 (или из y = 1/(3x)): - При x = 1/3: y = 3 − 6·(1/3) = 3 − 2 = 1. - При x = 1/6: y = 3 − 6·(1/6) = 3 − 1 = 2. 7) Проверим обратно в первом уравнении 3xy = 1: - Для (x, y) = (1/3, 1): 3·(1/3)·1 = 1 ✓ - Для (x, y) = (1/6, 2): 3·(1/6)·2 = 1 ✓ Итог Система имеет два действительных решения: - (x, y) = (1/3, 1) - (x, y) = (1/6, 2) Дополнительное замечание (как можно было получить тот же результат и по-другому): Из второй уравнения y = 3 − 6x, подставим в первую: 3x(3 − 6x) = 1 → 9x − 18x^2 = 1 → 18x^2 − 9x + 1 = 0, те же корни.