сколько будет -2х²+5х+3>0

Задача: решить неравенство -2x^2 + 5x + 3 > 0.

Пошаговое решение

1. Ориентация параболы

• Коэффициент при x^2 равен -2 (< 0), значит парабола открывается вниз. Значит область, где выражение положительно, лежит между корнями квадратичного выражения.

2. Найдём корни уравнения -2x^2 + 5x + 3 = 0

• Здесь a = -2, b = 5, c = 3.
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 25 - 4(-2)(3) = 25 + 24 = 49.
• Корни: x = [-b ± sqrt(D)]/(2a) = [-5 ± 7]/(-4).
  • x1 = (-5 + 7)/(-4) = 2/(-4) = -1/2
  • x2 = (-5 - 7)/(-4) = (-12)/(-4) = 3

3. Интервалы и знак выражения

• Так как парабола открывается вниз, то на промежутке между корнями выражение положительно.
• Следовательно, решение: -1/2 < x < 3.

4. Альтернативный способ через факторизацию (для понимания)

• Умножим неравенство на -1 (множение на отрицательное число меняет знак): -2x^2 + 5x + 3 > 0 → 2x^2 - 5x - 3 < 0.
• Факторизация: 2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3).
• Неравенство: (2x + 1)(x - 3) < 0.
• Применяем правило знаков на интервалах: корни -1/2 и 3, произведение отрицательно между корнями.
• Получаем тот же ответ: -1/2 < x < 3.

Ответ: x ∈ (-1/2, 3).