Задача 14. Найдите все числа вида:
a) 123a, делящееся на 3
- Подстановка последнего разряда не влияет на кратность 3 напрямую, достаточно суммы цифр.
- Сумма цифр: 1 + 2 + 3 + a = 6 + a.
- Для делимости на 3 число 6 + a должно быть кратно 3, значит a ∈ {0, 3, 6, 9}.
- Ответ: 1230, 1233, 1236, 1239.
б) 25ab, делящееся на 9
- Сумма цифр: 2 + 5 + a + b = 7 + a + b.
- Пусть 7 + a + b ≡ 0 (mod 9) ⟹ a + b ≡ 2 (mod 9).
- Так как a, b — цифры (0–9), сумма a + b может быть 2 или 11.
- Все пары (a, b) с суммой 2 или 11:
- сумма 2: (0,2), (1,1), (2,0)
- сумма 11: (2,9), (3,8), (4,7), (5,6), (6,5), (7,4), (8,3), (9,2)
- Соответствующие числа 25ab:
- 2502, 2511, 2520, 2529, 2538, 2547, 2556, 2565, 2574, 2583, 2592
- Ответ: перечислены 11 чисел выше.
в) 63bc, делящееся и на 9, и на 10
- Чтобы число делилось на 10, его последняя цифра c должна быть 0. Значит c = 0.
- Теперь число имеет вид 63b0. Сумма цифр: 6 + 3 + b + 0 = 9 + b.
- Для делимости на 9 нужно 9 + b ≡ 0 (mod 9) ⟹ b ∈ {0, 9}.
- Соответствующие числа: 6300 и 6390.
- Ответ: 6300, 6390.
