Найдите все числа вида:

Задача 14. Найдите все числа вида:

a) 123a, делящееся на 3

• Подстановка последнего разряда не влияет на кратность 3 напрямую, достаточно суммы цифр.
• Сумма цифр: 1 + 2 + 3 + a = 6 + a.
• Для делимости на 3 число 6 + a должно быть кратно 3, значит a ∈ {0, 3, 6, 9}.
• Ответ: 1230, 1233, 1236, 1239.

б) 25ab, делящееся на 9

• Сумма цифр: 2 + 5 + a + b = 7 + a + b.
• Пусть 7 + a + b ≡ 0 (mod 9) ⟹ a + b ≡ 2 (mod 9).
• Так как a, b — цифры (0–9), сумма a + b может быть 2 или 11.
• Все пары (a, b) с суммой 2 или 11:
  • сумма 2: (0,2), (1,1), (2,0)
  • сумма 11: (2,9), (3,8), (4,7), (5,6), (6,5), (7,4), (8,3), (9,2)
• Соответствующие числа 25ab:
  • 2502, 2511, 2520, 2529, 2538, 2547, 2556, 2565, 2574, 2583, 2592
• Ответ: перечислены 11 чисел выше.

в) 63bc, делящееся и на 9, и на 10

• Чтобы число делилось на 10, его последняя цифра c должна быть 0. Значит c = 0.
• Теперь число имеет вид 63b0. Сумма цифр: 6 + 3 + b + 0 = 9 + b.
• Для делимости на 9 нужно 9 + b ≡ 0 (mod 9) ⟹ b ∈ {0, 9}.
• Соответствующие числа: 6300 и 6390.
• Ответ: 6300, 6390.