В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции 48. Найдите её среднюю линию

Задача: в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота h = 48. Найти среднюю линию (среднюю базовую длину).

Обозначим:

• верхняя база a, нижняя база b (считаем, что b длиннее), высота h.
• средняя линия m = (a + b)/2.

Решение:

1. Введём координаты: нижняя база от (-b/2, 0) до (b/2, 0), верхняя база от (-a/2, h) до (a/2, h).
2. Диагонали: D1 от (-b/2, 0) к (a/2, h), D2 от (b/2, 0) к (-a/2, h). Их наклоны:
   • m1 = (h - 0) / (a/2 - (-b/2)) = h / ((a + b)/2) = 2h/(a + b)
   • m2 = (h - 0) / (-a/2 - b/2) = h / (-(a + b)/2) = -2h/(a + b)
3. Диагонали перпендикулярны, значит m1 · m2 = -1: (2h/(a + b))^2 = 1 → a + b = 2h.
4. Следовательно, средняя линия m = (a + b)/2 = h.

Поскольку дано h = 48, получаем: m = h = 48.

Ответ: средняя линия трапеции равна 48.